Matematiikan käsitteitä eri kielillä

Reykjavikin kokouksen teemana oli maahanmuuttajien matematiikan opiskelun auttaminen. Konferenssissa Göteborgin yliopiston matematiikan didaktiikan dosentti Thomas Lingefjärd kertoi hankkeesta, jossa hän on käännättänyt matematiikan käsitteitä muutamille kielille (arabia, somalikieli, turkki, farsi, kurdi …). Hän on luonut äänettömiä videoita, jotka havainnollistavat kyseisiä käsitteitä. Ideana on, että opettaja näyttää oppilaalle videon ja kertoo käsitteestä. Samalla oppilas näkee käsitteen käännettynä omalle kielelleen.

Area_enheter_-_YouTube

Reykjavikissa päätimme alkaa yhteistyön Thomaksen kanssa ja tuottaa käännöksiä myös suomen kielellä. Tätä kirjoitettaessa on tuotettu noin 20 äänetöntä videota, jossa on mukana suomenkielinen käännös.

Videot on koottu Suomen GeoGebra -verkoston Materiaalit- sivulle
https://geogebrasuomi.wordpress.com/matikan-kasitteita-eri-kielilla/

Jakakaa tietoa videoista opettajille, jotka työskentelevät maahanmuuttajien kanssa.

 

Mainokset

Suoran piirtämisen äärellä

Otsikkona voisi olla myös, hidastettua tekemistä tietokoneella. Kävin Kuusamossa kouluttamassa yläkoulun opettajia Geogebran käytössä. Kiitoksia järjestäjille ja osallistujille. Koulutukseen valmistautuessa kokosin ajatuksiani, miten suoran piirtämisen opettaisin yläkoululaisille. Kysymys saattaa tuntua turhalta. Kirjoitat vain syöttökenttään tai CAS-ikkunaan suoran yhtälön y=2x-1 ja painat enteriä. Kone piirtää. Ei tämän asian oppimiseen sen enempää aikaa tarvita. Harjoitellaan vielä vaihtelemalla kulmakerrointa ja vakiotermiä. Kymmenen minuuttia ja sitten voidaankin mennä sovellustehtäviin.

Funktion kuvaajan käsitteen oppiminen on iso, abstrakti askel. Aloitetaan GeoGebralla aivan kuten vihkoonkin tehtäessä. Tehdään taulukko.  Avataan Geogebran taulukkolaskenta ja kirjoitetaan ensimmäiselle riville otsikot. Kun halutaan kirjoittaa tekstiä, se laitetaan lainausmerkkeihin. On makuasia, harjoitellaanko x:n arvoja annettaessa täyttökahvan käyttöä, vain syöttävätkö opiskelijat arvot itse. Ei siinä niin paljoa aikaa kulu.

SuoranPiirto1

Funktion arvoja laskettaessa voitaisiin edetä monella eri tavalla. Alla olevassa taulukossa on esitetty eri tapoja. Vasemmanpuoleisin tapa voi joskus olla perusteltu, mutta jatkon kannalta suosisin oikeanpuolista. Neljäntenä vaihtoehtona on, että oppilaat laskevat funktion arvot vihkoon. Keskimmäisessä vaihtoehdossa funktion määrittäminen tuo suoraan näkyviin myös funktion kuvaajan. Halutaanko se tässä vaiheessa näkyviin?

SuoranPiirto2

Riipumatta tavasta, jolla y:n arvot laskettiin, nyt meillä on taulukko valmiina. Pisteet saadaan näkyviin piirtoikkunalle valitsemalla taulukossa olevat luvut ja valikosta luo pistelista -komento.

SuoranPiirto3

Koska en ollut muistanut laittaa asetuksista automaattista nimeämistä pois, jokaisen pisteen nimi on nyt näkyvissä. Taulukkoon voisi vielä lisätä sarakkeen pisteille. Ehkä tässä kohtaa täyttökahvan käyttö olisi perusteltua. Viimeisenä voisimme sitten piirtää sen suoran, joko algebraikkunassa tai CAS-ikkunassa.

SuoranPiirto4

Tuottaako koneella tekeminen mitään uutta vihkoon piirtämiseen verrattuna? Opitaan vähän koneen käyttöä, mutta tähän asti ei oikeastaan ole ollut kovin suurta eroa. Jos taulukkoon laskit y:n arvot käyttämällä funktiota tai syöttämällä kaavan, voit seuraavaksi piirtoikkunassa ottaa pisteestä kiinni ja piste liikkuu pitkin suoraa. Voimme laittaa pisteen ominaisuuksista jäljen käyttöön, ja saamme funktion kuvaajan esille. Samalla kun liikutamme pistettä, taulukossa sen koordinaatit muuttuvat. Tästä voisi olla apua epäyhtälön käsitteen tarkastelussa, kun mietitään, millä x:n arvolla y koordinaatti on positiivinen tai negatiivinen. Voit vaikkaa muuttaa liikuteteltavan pisteen väriä y:n merkin mukaan.

SuoranPiirto5

 

 

 

Paloittain määritellyn funktion kuvaaja

Lukion pitkässä matematiikassa paloittain määritelty funktio tulee kuin varkain. Samaan aikaan kuin raja-arvo ja jatkuvuus. Islannin Geogebrakonferenssin yhteydessä minulla oli mahdollisuus seurata sikäläisen lukion opetusta. Kaksoistunnin (2 * 60 min) aiheena oli paloittain määritelty funktio. Vaikka opettaja tiesi, miten paloittain määritellyn saisi yhdellä komennolla tehtyä, hän uudelleen ja uudelleen teki suoraavanlaisia kuvaajia, jotka rauhassa myös selitti.

Sieppaa1

Kuvaajaan siis piirrettiin molemmat funktiot ja ylimääräiset osat sutattiin yli. Tällöin opiskelijoiden piti aktiivisesti katsoa, millä x:n arvolla ensimmäisen funktion kuvaaja loppuu ja toisen alkaa.

Saman asian voisi tehdä seuraavalla tavalla.

PaloittainKuva2

Itse suosin lukiossa kirjoittamista CAS-ikkunassa, koska silloin opiskelija voi helpolla kokeessa ottaa kuvakaappauksen CAS-ikkunaan kirjoittamista riveistä. Kun funktion määrittelyehdon antaa pilkun jälkeen, CAS-ikkunassa näkee, että GeoGebra muuntaa ilmaisun jos-funktioksi.

Esimerkiksi raja-arvon laskemista varten olisi hyvä kirjoittaa funktio alunperin muodossa
””f(x):=jos[x<1, -2x+1, x^2-1]”
Mutta, ennen kuin tähän voidaan mennä, pitäisi paloittain määritellyn funktion käsite olla jo tuttu. Tällä hetkellä unelmoin, että MAA2 kurssiin saisin ujutettua samanlaista työskentelyä, mitä Islannissa näin. Aikaa ja rauhaa oppimisellle.

Tehtävä: Muodosta funktion lauseke kuvaajasta

Islannissa törmäsin useisiin esimerkkeihin, jossa GeoGebran avulla toteutettu sovelma nähtiin yhtenä tapana toteuttaa kurssin aikaista formatiivista arviointia. Sovelma antaa opiskelijalle välitöntä palautetta hänen suorituksestaan.

Tehdään sovelma, joka arpoo funktion antamastamme funktiokokoelmasta ja piirtää sen GeoGebran piirtonäkymään. Opiskelijan tehtävänä on muodostaa funktion lauseke. Jos opiskelijan vastaus on oikein, niin sovelma antaa opiskelijalle välittömästi palautetta.

Näyttökuva 2017-10-29 kello 17.19.48

esimerkkitoteutus, bit.ly/funktiokuvaajasta

  1. Luodaan lista kertoimista ja sekoitetaan ne, kirjoittamalla syöttökenttään:
    kertoimet=sekoita[{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}]
  2. Määritelllään kertoimet a, b, c, d kirjoittamalla syöttökenttään listan nimi ja suluissa alkion järjestysnumero:
    ”a=kertoimet(1)”
    ”b=kertoimet(2)”
    ”c=kertoimet(3)”
    ”d=kertoimet(4)”
  3. Muodostetaan lista funktioista ja sekoitetaan ne, kirjoittamalla syöttökenttään:
    ”funktiot=sekoita[{(a*x+b)/(c*x+d),a*x+b,a*sin(x)+b}]”.
    Laita listaan mitä funktioita itse haluat.
  4. Määritellään funktio, joka näkyy piirtonäkymässä kirjoittamalla syöttökenttään:
    f(x)=funktiot(1)
  5. Lisätään piste A funktion kuvaajalle komennolla:
    A=piste[f]
  6. Piirretään funktio ”g(x)=0” ja piilotetaan se.
  7. Luodaan tekstikenttä ja valitaan linkitettäväksi objektiksi ”g(x)=0”.
  8. Luodaan boolean muuttuja, joka tarkastaa onko opiskelijan syöttämä funktio sama kuin piirrettty kirjoittamalla syöttökenttään
    oikein=g(x)==f(x)
  9. Luodaan painike, joka arpoo uuden funktion ja tyhjentää opiskelijan syöttämän funktion. Valitse painikkeen ominaisuudet -> ohjelmointi -> klikattaessa. Kirjaa tänne
    PäivitäKonstruktio[]” <- Sekoittaa funktio- ja kerroinlistat.
    AsetaArvo[g,0]” <- Asettaa funktion g lausekkeeksi 0.
  10. Asetetaan palaute näkymään opiskelijalle esimerkiksi luomalla teksti ”OIKEIN” ja kirjoittamalla tekstikentän lisäominaisuuksiin objektin näyttämisehdon kohdalle ”oikein”. Nyt teksti näkyy kun f(x)=g(x).
  11. Viimeistele tuotoksesi!

Tätä samaa ideaa voi soveltaa moneen muuhunkin.

-Lauri

Huom. Vaiheet 1-2 olisi voinut tehdä myös määrittelemällä kertoimet ”a=Satunnaisluku[-5,5]”.