Paloittain määritellyn funktion kuvaaja

Lukion pitkässä matematiikassa paloittain määritelty funktio tulee kuin varkain. Samaan aikaan kuin raja-arvo ja jatkuvuus. Islannin Geogebrakonferenssin yhteydessä minulla oli mahdollisuus seurata sikäläisen lukion opetusta. Kaksoistunnin (2 * 60 min) aiheena oli paloittain määritelty funktio. Vaikka opettaja tiesi, miten paloittain määritellyn saisi yhdellä komennolla tehtyä, hän uudelleen ja uudelleen teki suoraavanlaisia kuvaajia, jotka rauhassa myös selitti.

Sieppaa1

Kuvaajaan siis piirrettiin molemmat funktiot ja ylimääräiset osat sutattiin yli. Tällöin opiskelijoiden piti aktiivisesti katsoa, millä x:n arvolla ensimmäisen funktion kuvaaja loppuu ja toisen alkaa.

Saman asian voisi tehdä seuraavalla tavalla.

PaloittainKuva2

Itse suosin lukiossa kirjoittamista CAS-ikkunassa, koska silloin opiskelija voi helpolla kokeessa ottaa kuvakaappauksen CAS-ikkunaan kirjoittamista riveistä. Kun funktion määrittelyehdon antaa pilkun jälkeen, CAS-ikkunassa näkee, että GeoGebra muuntaa ilmaisun jos-funktioksi.

Esimerkiksi raja-arvon laskemista varten olisi hyvä kirjoittaa funktio alunperin muodossa
””f(x):=jos[x<1, -2x+1, x^2-1]”
Mutta, ennen kuin tähän voidaan mennä, pitäisi paloittain määritellyn funktion käsite olla jo tuttu. Tällä hetkellä unelmoin, että MAA2 kurssiin saisin ujutettua samanlaista työskentelyä, mitä Islannissa näin. Aikaa ja rauhaa oppimisellle.

Mainokset

Tehtävä: Muodosta funktion lauseke kuvaajasta

Islannissa törmäsin useisiin esimerkkeihin, jossa GeoGebran avulla toteutettu sovelma nähtiin yhtenä tapana toteuttaa kurssin aikaista formatiivista arviointia. Sovelma antaa opiskelijalle välitöntä palautetta hänen suorituksestaan.

Tehdään sovelma, joka arpoo funktion antamastamme funktiokokoelmasta ja piirtää sen GeoGebran piirtonäkymään. Opiskelijan tehtävänä on muodostaa funktion lauseke. Jos opiskelijan vastaus on oikein, niin sovelma antaa opiskelijalle välittömästi palautetta.

Näyttökuva 2017-10-29 kello 17.19.48

esimerkkitoteutus, bit.ly/funktiokuvaajasta

  1. Luodaan lista kertoimista ja sekoitetaan ne, kirjoittamalla syöttökenttään:
    kertoimet=sekoita[{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}]
  2. Määritelllään kertoimet a, b, c, d kirjoittamalla syöttökenttään listan nimi ja suluissa alkion järjestysnumero:
    ”a=kertoimet(1)”
    ”b=kertoimet(2)”
    ”c=kertoimet(3)”
    ”d=kertoimet(4)”
  3. Muodostetaan lista funktioista ja sekoitetaan ne, kirjoittamalla syöttökenttään:
    ”funktiot=sekoita[{(a*x+b)/(c*x+d),a*x+b,a*sin(x)+b}]”.
    Laita listaan mitä funktioita itse haluat.
  4. Määritellään funktio, joka näkyy piirtonäkymässä kirjoittamalla syöttökenttään:
    f(x)=funktiot(1)
  5. Lisätään piste A funktion kuvaajalle komennolla:
    A=piste[f]
  6. Piirretään funktio ”g(x)=0” ja piilotetaan se.
  7. Luodaan tekstikenttä ja valitaan linkitettäväksi objektiksi ”g(x)=0”.
  8. Luodaan boolean muuttuja, joka tarkastaa onko opiskelijan syöttämä funktio sama kuin piirrettty kirjoittamalla syöttökenttään
    oikein=g(x)==f(x)
  9. Luodaan painike, joka arpoo uuden funktion ja tyhjentää opiskelijan syöttämän funktion. Valitse painikkeen ominaisuudet -> ohjelmointi -> klikattaessa. Kirjaa tänne
    PäivitäKonstruktio[]” <- Sekoittaa funktio- ja kerroinlistat.
    AsetaArvo[g,0]” <- Asettaa funktion g lausekkeeksi 0.
  10. Asetetaan palaute näkymään opiskelijalle esimerkiksi luomalla teksti ”OIKEIN” ja kirjoittamalla tekstikentän lisäominaisuuksiin objektin näyttämisehdon kohdalle ”oikein”. Nyt teksti näkyy kun f(x)=g(x).
  11. Viimeistele tuotoksesi!

Tätä samaa ideaa voi soveltaa moneen muuhunkin.

-Lauri

Huom. Vaiheet 1-2 olisi voinut tehdä myös määrittelemällä kertoimet ”a=Satunnaisluku[-5,5]”. 

 

Kysymys: Puolipallon piirtäminen

Opettaja voi piirtää puolipallon GeoGebralla esimerkiksi

  1. Usean muuttujan funktion avulla ”h(x,y)=sqrt(1-x^2-y^2)”
  2. Yhden muuttujan funktion avulla ”g(x)=sqrt(1-x^2)”, jonka jälkeen pinta-komennolla saa luotua puolipallon pinnan ”pinta[g,pi]”

Näyttökuva 2017-10-29 kello 13.46.01

Opiskelijan on helpointa esim. MAA3/MAB3-kursseilla piirtää pallo ja tarkastella esim. vain xy-tason yläpuolista osaa pallosta.

Näyttökuva 2017-10-29 kello 13.49.48

Linkki GeoGebra-tiedostoon

Pallon tai sen osia voi myös piirtää Pinta-komennon avulla käyttämällä pallokoordinaatteja. Koko pallo tulee komennolla ”Pinta(2cos(a)*cos(b),2cos(a)*sin(b),2sin(a),a,-π / 2,π / 2,b,0,2π)”. Esimerkissä säde on 2. Jos haluat pallosta vain osan, niin muuta kulmien a ja b rajoja.

Linkki GeoGebra-tiedostoon

-Lauri
-Hannu