Sovituskomennot GeoGebrassa

Funktion sovittaminen pisteistöön on tyypillinen ongelma, jonka ratkaisemiseminen onnistuu mukavahkosti tietokoneohjelmien avulla. GeoGebrassa on oma työkalu sovitusongelmien ratkaisuun. Lisäksi ohjelmassa on runsaasti sovitus -komentoja.

Kahden muuttujan regressio -työkalu

Tutkitaan ensin Kahden muuttujan regressio -työkalua. Seuraavissa esimerkeissä käytetään kuvan taulukkolaskennan lukuja.

Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Kahden muuttujan regressioanalyysi. Avautuvassa ikkunassa valitaan Analysoija GeoGebra avaa Data-analyysi-ikkunan. Regressiomalli-valikosta voi valita erilaisia sovituksia: Lineaarinen, Logaritminen, Polynomi, Potenssi, Eksponentiaalinen, Kasvu, Sin ja Logistinen.

Ikkunan vasemman yläreunan käsi -ikonin avulla voi muuttaa valittua lukualuetta taulukkolaskennassa, seuraava ∑x -painike näyttää tilastollisia tunnuslukuja liittyen sovitukseen, seuraava painike näyttää mittausdatan, seuraava jäännöskuvion ja viimeinen vaihtaa datan x– ja y-koordinaatit keskenään. Data-ikkunassa voi poistaa yksittäisiä pisteitä ja Jäännöskuvio kertoo pisteiden y-koordinaattien poikkeaman pystysuunnassa valitusta sovituskäyrästä. Oikean yläkulman pienen kolmion takaa löytyy ikkuna, jossa voi lisätä viivadiagrammin, ruudukon ja muuttaa kuvaajan mittasuhteita. Kolmion oikealla puolella olevan pikkuneliön avulla saa kuvaa kopioitua suoraan piirtoalueelle. Siellä on helpompi muokata akseleita ja lisätä akseleille nimet ja yksiköt. Samalla kun kuvaaja siirtyy piirtoalueelle, niin myös Algebra-ikkunaan ilmestyy sovitettu funktio.

Sovituskomennot

Tarkastellaan sitten syöttökentässä ja CASissa käytettäviä sovituskomentoja. Kahden muuttujan regressio -työkalun regressiomallifunktiot käyttäytyvät samalla tavoin kuin sovituskomennot. Komennot tarvitsevat syötteekseen pistelistan. Ennen kuin pistelista luodaan, niin kannattaa käydä valitsemassa Asetukset -> Nimeäminen -> Nimeäminen pois.  Näin pisteiden nimet eivät ilmesty piirtoalueelle. Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Luo pistelista.

Avautuvassa ikkunassa voi muuttaa pistelistan nimen, oletuksena se on l1. Annetaan pistelistalle nimi ”pisteet”. Komento SovitaSuora(pisteet) (FitLine) sovittaa pienimmän neliösumman avulla suoran pisteisiin ja antaa sille nimen f. Komento SovitaSuoraX(pisteet) (FitLineX) tekee saman sovituksen, mutta suorat vaihtaa x– ja y-koordinaatit sovitusalgoritmissa. Normaalitilanteessa pienimmän neliösumman sovituksessa ajatellaan, että x-koordinaatit ovat riippumattomia (selittäviä) ja y- koordinaatit riippuvia (selitettäviä) muuttujia. SovitaSuoraX muuttaa y-koordinaatit riippumattomiksi sovitusalgoritmiin.

Sovitetun suoran kulmakertoimen arvon (kuvassa muuttuja a) saa komennolla Kulmakerroin(f)ja vakiotermin arvon (kuvassa muuttuja b) hieman hankalammin Alkio(Kertoimet(f(x),2)).Kertoimetluo listan polynomin f(x)kertoimista ja Alkio(lista, 2)poimii listan toisen jäsenen eli tässä tapauksessa vakiotermin. SovitaSuora-komento poikkeaa muista sovita-komennoista, sillä se tuottaa suoran yhtälön, muut sovita-komennot tuottavat funktion.

Polynomisovitukset tuotetaan komennolla SovitaPolynomi( <Pistelista>, <Polynomin asteluku> ) (FitPoly). Komento SovitaPolynomi(pisteet, 2)luo toisen asteen funktion. Pistelistan tilalla voi olla myös vapaalla kädellä piirretty funktio. Sellaisen saa luotua Piirtoalueen Vapaakäsi-työkalulla. Kuvassa f(x) on toisen asteen sovitus ja p(x) viidennen asteen sovitus pisteet listaan. Funktio h(x) on paraabelisovitus vapaalla kädellä piirrettyyn funktioon g(x).

Algebraikkunassa olevia funktioita voi derivoida, integroida Syöttökentässä tai CAS:issa ja myös niiden ominaisuuksia voi tutkia Funktion-analysointi työkalulla. Se löytyy Piirtoalueen työkaluista Kulma-työkalun ”takaa”.

Eksponentiaalista kasvua varten on sovitukset SovitaEksp(FitExp) ja SovitaKasvu (FitGrowth). SovitaEksp(pisteet)tuottaa muotoa f(x) = a·e^b·xolevan funktion ja SovitaKasvutyyliin g(x) = a·b^x. GeoGebran kannalta kyseessä on sama funktio, vain esitystapa on erilainen. Mikäli tarvitset laskuissasi luonnollisen logaritmin kantalukua e, niin sen saa GeoGebrassa näppäinkomennolla Alt-e tai Syöttökentän oikean reunan symbolivalikosta. GeoGebra 6:ssa e ja π löytyvät myös virtuaalinäppäimistöltä. Näiden komentojen syötelistan y-koordinaattien tulee olla samanmerkkisiä.

SovitaPotenssi(pisteet)(FitPow) sovittaa funktion, joka on muotoa f(x) = a·x^b.Pistelistan x– ja y– koordinaattien tulee olla positiivisia.

SovitaLogist(pisteet)(FitLogistic) sovittaa muotoa f(x) = a/(1 + b e^(- k x)) olevan logistisen funktion. Pistelistan y-koordinaattien tulee olla positiivisia. Pisteiden pitää olla myös riittävästi S:n muotoisella käyrällä.

SovitaLog(pisteet)(FitLog) sovittaa muotoa p(x) = a+ bln(x) olevan funktion. Pisteiden x-koordinaattien tulee olla positiivisia.

Sin-sovitusta varten toin taulukkolaskentaan heiluriin liittyvää mittausdataa. Loin datasta pistelistan nimeltä heiluri. SovitaSini(heiluri)(FitSin)tuottaa muotoa h(x) = a+ bsin(c x+ d) olevan funktion. Kokemus osoittaa, että jos pisteitä on runsaasti, suuruusluokkaa satoja, niin komento ei toimi aina täydellisesti.

Usein kun sovitetaan mittausdataa, tulee tarve määrittää itse sovitusfunktio. Jos haluaa pakottaa sovitussuoran tai paraabelin kulkemaan origon kautta, niin komennolla Sovita( <Pistelista>, <Funktiolista> )(Fit) se onnistuu. GeoGebra määrittää funktiolistan kertoimet sovituskäyrälle. Niinpä Sovita(pisteet, {x})sovittaa origon kautta kulkevan suoran ja Sovita(pisteet, {x, x^2})origon kautta kulkevan toisen asteen polynomin.

Ehkä mielekkäämpi tapa käyttää Sovita-komentoa on kirjoittaa sovitettava lauseke komennon syötteeksi tyyliin Sovita( <Pistelista>, <Funktio> ). Origon kautta kulkeva suora olisi sovitettu komennolla Sovita(pisteet, k x).

Syksyn 18 fysiikan ylioppilaskokeessa oli tehtävä, jossa oli mittaustuloksia kahvin lämpötilasta ajan funktiona. Luodaan mittaustuloksista pistelista kahvi. Mittaustulokset näyttävät noudattavan Newtonin jäähtymislakia. Komento Sovita(kahvi, a b^x + c)tuottaa funktion, joka kulkee melkoisen hyvin pisteiden kautta. Tosin pisteiden alku- ja loppupäät poikkeavat selvästäsi mallin tuottamasta käyrästä. Komentoa käytettäessä GeoGebra luo vakioita vastaavat liu’ut. Lisäksi pitää tarkistaa Algebra-ikkunasta, että vakioina käytettävät muuttujat eivät ole aiemmin määriteltyjä.

Splini( <Pistelista> )-komento (Spline) luo pistelistan pisteiden kautta kulkevan splinikäyrän. Splini on paloitellusti määritelty parametrinen käyrä. Palat koostuvat kolmannen asteen käyristä siten, että liitoskohdissa käyrä on jatkuva ja derivoituva. Toki käyrän derivoiminen ei onnistu kovin helposti, koska kyseessä on parametrinen käyrä. Käyrälle voi piirtää tangentin jokaiseen pisteeseen. Korkeamman asteen splinejä saa syntaksilla Splini( <Pistelista>, <Asteluku ≥ 3> ). Splinejä ei kannata käyttää, jos mittaustuloksissa on paljon ”virhettä” koska käyrä kulkee kaikkien pisteiden kautta ilman pehmennystä.

Kuvassa f(x)=SovitaKasvu(kahvi),g(x)=Sovita(kahvi, a+b*c^(x))ja d: Splini(kahvi).

Implisiittinen sovitus

Implisiittinen sovittaminen pyrkii tuottamaan n:n asteen xy-tasokäyriä. Pisteiden lukumäärän tulee olla vähintään  pistettä. Yritetään piirtää vapaalla kädellä tietokoneen hiirellä yksikköympyrä mahdollisimman hyvin. Luodaan ensin piste A = (0,1). Jotta pisteen koordinaatit saadaan tallentumaan taulukkolaskentaan, sen ikkunan tulee olla näkyvissä.

Valitaan hiiren oikealla painikkeella piste A ja avautuvasta valikosta Tallenna taulukkoon. Kun avautuneen ikkunan sulkee, voi alkaa liikuttaa pistettä A ja pisteen koordinaatit tallentuvat taulukkolaskentaan. Kun taulukkolaskennassa valitaan A:n liikkuessa luodut pisteet jaLuo pistelista, niin pisteet ilmaantuvat piirtoalueelle ja oletuksena syntyy lista l1. Komennolla SovitaImplisiittisesti(l1, 2) (FitImplicit) ohjelma tuottaa toisen asteen käyrän. Algebraikkunassa GeoGebra ilmoittaa, että se on Implisiittinen käyrä.  Katsomalla sitä tunnistan tai paremminkin arvaan, että kyseessä on ellipsi. Kokeile itse korkeamman potenssin sovituksia ja jos olet rohkea, niin pohdi miten algoritmit ovat niihin päätyneet.

Jostain kumman syystä GeoGebra ei tunnista, että implisiittinen käyrä aon oikeasti kartioleikkaus. Niinpä Syöttökentän komennolla ymp = aohjelma luo kartioleikkauksen siten, että se toimii GeoGebran kartioleikkauskomentojen kanssa.  Kartioleikkausten symmetriakeskus saadaan komennolla Keskus(ymp),polttopisteetPolttopiste(ymp)ja ellipsin eksentrisyys komennolla Eksentrisyys(ymp).

 

Mikäli haluat tutusta monipuolisiin esimerkkeihin GeoGebra sovituskomennoista, niin kannattaa hankkia ruotsalaisten ystävieni Jonaksen ja Thomaksen ”Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra” -kirja. Kirjassa on useita kymmeniä pisteistön sovittamiseen liittyviä esimerkkejä liittyen muun muassa kemiaan, fysiikkaan, lääketieteeseen ja taloustieteeseen. Tätäkin kirjoittaessa olen selannut kirjaa aika paljon.

Lue lisää

Korhonen, Luoma-aho, Rahikka. Geogebra -opas. MFKA-Kustannus 2012.

https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/05/15/listat-geogebrassa/

Hall, Lingejärd. Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra. Wiley 2017.

Kirjan materiaalisivu. http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=1119102723&bcsId=10240

GeoGebran käyttöohjeen Fit-komennon wiki-sivu https://wiki.geogebra.org/en/Fit_Command

Spline Wikipediassa. https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics)

Tulostettava versio

tarina pdf-muodossa

Mainokset

Annuiteettilasku GeoGebralla

64000€:n laina maksetaan tasaerinä viidessä vuodessa kuukausittain korkokannalla 3.6 %/a.

1. Laske tasaerä eli annuiteetti.
2. Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.
3. Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?
4. Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?
5. Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?
6. Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Seuraavissa ratkaisussa näytän miten GeoGebran CAS:in avulla saa tehtävän ratkaistua Lyhyen matikan Talousmatikan MB6 kurssilla. Kyseessä ei ole malliratkaisu, vaan tarkoituksena näyttää eri tapoja miten GeoGebran komentoja voi käyttää.

1 Laske tasaerä eli annuiteetti.

Maksuerä( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on korkokausien lukumäärä.
<Nykyarvo> on lainapääoma laina-ajan alussa.
<Tuleva arvo (valinnainen)> on lainapääoma lopussa, useimmiten se on nolla.
<Laji (valinnainen)>, sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin korko kuun alussa.

Tasaerä eli annuiteetti on 1167,14€.

2 Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.

Ensimmäisellä kerralla korko on 192€ ja ensimmäinen lyhennys 975.14€.

3 Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?

TulevaArvo( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Nykyarvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on kuinka monennen maksuerän kohdalla lainapääoman arvo lasketaan.
<Maksuerä> on annuiteetin arvo miinusmerkkisenä, ole tämän kanssa huolellinen.
<Nykyarvo (valinnainen)> on lainapääoma alussa.
<Laji (valinnainen)>,sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin kuun alussa.

Lainapääoma ennen kolmannen vuoden ekaa maksukertaa on 26967,70€.

4 Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?

Kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla korko on 80,96€ ja lyhennys 1086,18€?

5 Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?

Viimeinen lyhennys on lainapääoma ennen viimeistä maksukertaa eli 1163,65€ ja korko 3,49€. Näiden summan pitäisi olla yhtä suuri kuin annuiteetti, testaa onko.

6 Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Korkoa maksetaan yhteensä 6028,40€.

 

GeoGebra Classic 5 tutoriaalit suomeksi

Hannu Sinisalo on kääntänyt GeoGebra Classic 5 tutoriaalit suomenkielelle. Käännöstyö on varmasti vienyt aika paljon aikaa kääntäjältä. Yhteisömme kiittää Hannua.

Linkki tutoriaalikirjaan GeoGebra-materiaaleissa.

GeoGebra Classic 5:n lataaminen

Windows -tietokoneille

Mene osoitteeseen http://www.geogebra.org ja sieltä vasemman palkin Appsien lataukset https://www.geogebra.org/download

Asentaja alkaa latautua koneellesi. Noudata asentajan ohjeita. Näin saat uusimman version koneeseesi.

Mac -tietokoneille

Mene osoitteeseen http://www.geogebra.org ja sieltä vasemman palkin Appsien lataukset https://www.geogebra.org/download

Valitse käyttöjärjestelmäsi mukainen versio.

Lataukset kansioon ilmestyy ”GeoGebra-MacOS-Installer-withJava-5-0-486-0.zip” niminen tiedosto (neljä viimeistä numeroa muuttuvat version mukaan). Kaksoisklikkaa tiedostoon, GeoGebra-niminen ohjelma ilmestyy Lataukset-kansioon. Siirrä GeoGebra ohjelmat-kansioon. Klikkaa Ohjelmat-kansiossa hiiren oikealla painikkeella GeoGebra-ohjelmaan (ensimmäisellä kerralla) ja valitse Avaa. Vastaa ”Avaa” käyttöjärjestelmän kysymykseen halustasi avata internetistä ladattu tiedosto.

Applen AppleStoresta asennetut versiot eivät päivity enää automaattisesti.

Tätä kirjoittaessa viimeisin versio oli GeoGebra Classic 5.0.486.0

Lue Macversiosta lisää täältä.

GeoGebra Classic 5:n Mac -versio

GeoGebran pääohjelmoija Michael Borcherds ilmoitti, että GeoGebra 5:n Classic-versiota ei päivitetä enää Applen App Storeen. Mac-versiota päivitetään samaa tahtia kuin muitakin Classic 5 versioita. Tätä kirjoitettaessa uusin versio on 5.0.472, 31 May 2018

Uusimman GeoGebra 5 Classicin löytää GeoGebran Apps sivulta https://wiki.geogebra.org/en/Reference:GeoGebra_Installation

Valitse kohdasta GeoGebra Classic for Desktop ja sieltä

• Mac Portable: GeoGebra Classic 5 Portable for OSX 10.8 or later
• Mac Portable (OSX 10.7 or below): GeoGebra Classic 5 Portable for OSX 10.6 and 10.7.

Lähde Tanskaan

Kööpenhaminan konferenssin ilmoittautuminen on avattu. Lähde Tanskaan!!!!!

https://ggbconference2018.wordpress.com/

Myös omien esitysten ilmoittautumislomake on julkaistu.

https://ggbconference2018.wordpress.com/submission/

 

 

Galilein kaunis kaltevan tason lause

Tämä artikkeli on aiemmin julkaistu omassa blogissani https://mikonfysiikka.wordpress.com/

Johdantoa

Luin Heilbronin Galilei -elämänkerran (Heilbron J.L., Oxford, 2010). Se on hieno kirja, tosin minulla kului reilut puoli vuotta sen lukemiseen muiden kirjojen ohessa. Kirjaa lukiessa palasi mieleeni kaltevaan tasoon liittyvä lause Galilein kirjassa ”Keskusteluja kahdesta tieteestä” (ital. Dialogo dei due massimi sistemi del mondo, Leiden, 1638). Galilei itse olisi halunnut antaa kirjan nimeksi ”Keskusteluja liikkeestä”, mutta kustantaja Leidenissa kirja päätti toisin. Olen tutkiskellut kirjan englanninkielistä käännöstä (Stillman Drake) aikojeni kuluksi viime vuosituhannelta lähtien. Kirjasta löytyy paljon kauniita ajatuksia.

Kirjan luvussa Kolmas päivä on Lause VI, Väite VI: ”Jos pystytasossa olevan ympyrän ylimmästa tai alimmasta pisteestä luodaan kalteva taso siten, että toinen pää on ympyrän kehällä, niin kaltevaa tasoa kulkevilla kappaleilla matkaan kuluva aika on sama”. Englanninkielisessä versiossa ”If from the highest or lowest point in a vertical circle there be drawn any inclined planes meeting the circumference the times of descent along these chords are each equal to the other.”

Jätän lauseen todistamisen fysiikan opettajille ja opiskelijoille harjoitustehtäväksi. Galilei teki sen käyttämällä geometriaa ja aiemmin osoittamiaan fysiikan totuuksia.

Tietokoneeni syövereistä löytyi tällainen video liittyen noin 2000 DFCL-opintoihin https://youtu.be/jeF45T7Bw1o

Luvussa kolme Galilei oli osoittanut, että kaltevalla tasolla kulkevalla kappaleella on vakiokiihtyvyys. Todistus oli sekä kokeellinen, että geometrinen. Lisäksi hän osoitti tv-kuvaajan pinta-alan avulla (ennen integraalilaskentaa), että kuljettu matka on suoraan verrannollinen ajan neliöön, nykymerkinnöin s = ½ a t^2. Ymmärtääkseni Galilei ei erotellut vierimistä ja liukumista, mutta kirjassa pohditaan myös liikettä vastustavien voimien olemusta liittyen putoamisliikeeseen ja vierimiseen. Galilei ei tietenkään voinut käyttää päätelmissään voima-käsitettä, sillä sen keksi Newton, joka syntyi Galilein kuolinvuonna.

 

GeoGebraa

Tutkitaan miten Lausetta voi havainnollistaa GeoGebralla.

Newtonin mekaniikan avulla helpohkoa osoittaa, että kaltevalla tasolla kitkatta liukuvan kappaleen kiihtyvyys a = g sin a , missä a on kaltevuuskulma. Myös vierivällä kappaleella kiihtyvyys on myös suoraan verrannollinen kaltevuuskulman siniin. Unohdan tässä tapauksessa varrannollisuuskertoimen, sillä ei ole tämän tarinan kannalta merkitystä. Päteehän tämä lause kaikilla planeetoilla ja myös Jupiterin kuissa.

Kun tein ensimmäisen version tästä lauseesta, niin käytin perinteistä suorakulmaista koordinaatistoa. Jos lähdetään origosta ja kaltevuuskulma on 30° alaspäin, niin fysiikkaa ja matematiikkaa opiskellut henkilö voi osoittaa, että paikan koordinaatit ajan t funktiona ovat (sin(30°) cos(30°) t²,  sin(30°)² t²). Tämänkin avulla ongelman ratkaisu onnistui, mutta sitten oivalsin, että nyt kannattaa hypätä napakoordinaatistoon.

GeoGebrassa voi käyttää napakoordinaatteja, kun laittaa koordinaattien erottimeksi puolipisteen ”;”.

Jos haluat pisteeseen, jonka kulma on 30° ja etäisyys origosta 2, niin kirjoita GeoGebran syöttökenttään

A=(2; 30°)

Avaa uusi GeoGebra-sivu. Tämä ohje toiminee kaikilla GeoGebran versioilla 5 ja 6.

Luodaan aikaa kuvaava muuttuja t, eli liuku. Kirjoita syöttökenttään

t = 5

Algebraikkunaan ilmestyy t=5. Klikkaa sen vasemmalla puolella olevaan palloon ja piirtoalueelle syntyy liuku t. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella ja valitse Ominaisuudet ja sieltä Liukusäädin. Muuta arvot, Min: 0, Max: 5, Animaatioaskel: 0.1 sekä Toista: => Kasvava.

Harjoituksen vuoksi luodaan piste A. Kirjoita syöttökenttään ja pohdi samalla miksi vain toisessa on etumerkki.

A=(t² sin(30°); -30°)

Kun liikutat liukua, näet miten piste A liikkuu, kun aika kuluu. Zoomaa tarpeen mukaan. Vaihda kulmaa niin näet mitä tapahtuu.

Monistetaan pisteen A kulku eri kulmilla. Se onnistuu helpoimmin käyttämällä Jono-komentoa. Tässä käytän syntaksia Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo>, <Askeleen pituus> ). Kirjoita syöttökenttään

Jono((t² sin(n°); (-n)°), n, 0, 180, 10)

Komento tuottaa pisteitä napakoordinaatteihin (t² sin(n°); (-n)°). Ne kaikki näyttävät olevan samaan aikaan samalla ympyrän kaarella.

Jos halutaan piirtää myös kyseinen ympyrä, niin silloin ainakin minulle karteesiolainen koordinaatisto on taas helpompi. Alin piste putoaa kiihtyvyydellä t2, joten ympyrän säde on t2/2 ja sen säde myös t2/2.

Kirjoita syöttökenttään

Ympyrä((0, (-t²) / 2), t² / 2)

Aikamakeeta.

Esimerkki löytyy sivulta https://ggbm.at/kRSEZQ9r

Lopuksi

Jätän taas laiskuuksissani tuon alemman version mallin tuottamisen minua fiksuimmille ihmisille.

Joskus kun noita ratkoin, niin jotenkin tuo alempi oli minulle helpompi ja ylempi oli vaikeampi, ihmisen mieli on omalaatuinen.

Kun katselin viime kesän Firenzen kuvia, niin sieltä löytyi tällainenkin Galileomuseosta. Nytpä tajuan, mihin tuo kuva liittyy.

Jatko-osa löytyy blogistani

https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/06/13/galilein-kalteva-taso-jatko-osa/