Eilen julkaistiin uusi graafinen tapa etsiä materiaaleja GeoGebra Materiaalit-sivulla. Kokeile avainsanoihin (tageihin) perustuva hakua sivulla https://www.geogebra.org/materials
Suomenkielisellä käyttäjällä haku toimii suomen kielellä.
Itsenäisyyspäivän kunniaksi GeoGebra on julkaissut uuden laskimen mobiililaitteille. Testieni mukaan laskin toimii mukavimmin vaaka-suunnassa. Laskin korvaa minulla iPhonen laskimen ja se sopii hyvin oppilaskäyttöön.
Appi löytynee sovelluskaupasta kun hakee ”GeoGebra tieteellinen”.
Keräilen tähän artikkeliin suomenkielisiä matikka-aiheisia blogeja tai sivustoja, joissa käytetään GeoGebraa. Jos tiedät muita, niin kerro.
Laita päivämäärä muistiin, lähde mukaan!
Päivitän tämän tarinan lopullista versiota omaan blogiini. Siellä tullee olemaan myös tarinan lopullisen version pdf-tiedosto.
Tämä on kolmas osa trilogiastani, joka liittyy GeoGebran listoihin. Aikaisemmat osat: Listat GeoGebrassa ja Sovituskomennot GeoGebrassa.
GeoGebran Jono-komento (Sequence) vastaa perinteisissä ohjelmointikielissä for-next -silmukkaa. Sen avulla saadaan luotua tarvittaessa pitkiäkin listoja, joiden jäseninä voi olla muita GeoGebran objekteja; lukuja, pisteitä, yhtälöitä, taso- ja 3D geometrian objekteja jne.
Jonoa voi käyttää monella eri syntaksilla, sillä voi olla 1 – 5 syötettä. Tutustutaan näihin esimerkkien avulla. Kirjoitan seuraavassa komennot GeoGebra Classic 5:n CAS:iin tai Syöttökenttään. GeoGebra 6:n CAS:issa komennot toimivat täsmälleen samalla tavoin.
Kun syötteenä on yksi luku n, niin Jono tuottaa listan, jonka alkioina ovat luvut 1, …, n.
Jono(5)
→ {1, 2, 3, 4, 5}
Kun syötteenä on kaksi lukua m ja n, niin Jono tulostaa listan, jonka alkioina ovat luvut m, …, n.
Jono(3,8)
→{3, 4, 5, 6, 7, 8}
Jono(8, 3)
→ {8, 7, 6, 5, 4, 3}
Kun syötteenä on kolme lukua m, n ja k, niin Jono tulostaa listan, jonka alkioina ovat luvut m:stä n:ään siten, että m:stä alkaen otetaan joka k:s luku n:ään asti. Listan alkiot muodostavat aritmeettisen jonon.
Jono(2,13,3)
→ {2, 5, 8, 11}
Jono(1/2, 42/13, 1/3)
→ {0.5, 0.833, 1.167, 1.5, 1.833, 2.167, 2.5, 2.833, 3.167}
Kun Jonon syötteessä on viisi oliota, niistä ensimmäinen on muuttujan sisältävä lauseke, toinen on muuttuja, kolmas muuttujan ensimmäinen arvo, neljäs muuttujan viimeinen arvo ja viides askelväli. Viimeisen voi jättää pois, jolloin askeleen pituus on yksi. Jos käyttää muuttujaa Jonon lausekkeessa, niin GeoGebra pyrkii tuottamaan tuloste listaansa tarkat arvot.
Jono(k^2, k, -3, 3)
→ {9, 4, 1, 0, 1, 4, 9}
L1: =Jono(k,k,1/2,42/13,1/3)
→ L1≔{1/2, 5/6, 7/6, 3/2, 11/6, 13/6, 5/2, 17/6, 19/6}
Summa(L1) → 33/2
Komento Summa laskee syötelistan alkioiden summan.
Katsotaan muutamia esimerkkejä, mitä Jonolla saa aikaiseksi. Luodaan ensin liu’ut ala, ylä ja väli. Niiden avulla voidaan säätää Jonon muuttujia. Luodaan ensin kaksi suoraparvea: y = k x ja x = k. Kirjoitetaan CAS:iin tai syöttökenttään
ala≔5 → ala:=5
ylä:=5 → ylä:=5
väli:=5 → väli:=5
Kun klikataan Algebraikkunassa tai CAS:issa vasemmalla olevaan ympyrään, niin liu’ut ilmestyvät näkyviin piirtoalueelle. Luodaan origon kautta kulkevista suorista lista1 ja y-akselin suuntaisista suorista lista2.
lista1:=Jono(y = k x,k,ala,ylä,väli)
→ lista1:={y = (-5 / 2 * x), y = (-11/ 5 * x), …, y = 19/5}
ja y-akselin suuntaiset suorat
lista2:=Jono(x = k,k,ala,ylä,väli)
→ lista2:={x = -5 / 2, x = -11 / 5, … , x = 19 / 5}
Edellisessä esimerkissä tuotettiin suoria, luodaan seuraavaksi (x, y) pisteitä koordinaatistoon. Michael Borcherds’n ja Dag Oscar Madsenin LinkedIn keskustelusta löytyi seuraava mielenkiitoisia kuvioita tuottava yhden rivin pisteistö. Tässä inc-liukusäädin saa Ominaisuudet -ikkunassa arvoja: Min: 0.01,Max:1, ja Askelväli: 0.01. Kun muuttujan inc arvoa muuttaa, pisteet näyttävät joillain arvoilla tuottavan kauniita käyriä. Miksiköhän?
Jono((ln(n), sin(n)), n, 1, 1000, inc)
Joskus kaukaisessa menneisyydessä 1980-luvun lopussa tutustuin Logo-ohjelmointiin. Logon kilpikonnagrafiikan avulla sai yksinkertaisilla ohjelmanpätkillä mielenkiintoisia kuvia tasolle. Logon innoittaman innostuin tutkimaan tähtikuvioita ihan omaksi ilokseni.
Tehdään sovellus, jonka avulla voi tutkia tähtikuvioita, joiden kärjet ovat yksikköympyrään piirretyn säännöllisen monikulmion kärkipisteissä. Aluksi luodaan liukusäätimet n ja m. Liukujen asetuksissa n saa arvot Min:3, Max:50, Animaatioaskel:1 ja m arvot Min:1, Max: n-1 ja Animaatioaskel: 1. Luodaan seuraavaksi yksikköympyrään lista karjet säännöllisen monikulmion kärkipisteistä. Puolipiste pisteen erottimena tuottaa pisteet napakoordinaateissa.
karjet = Jono((1; aa 2π / n), aa, 1, n)
Monikulmio(A, B, n)-komento tuottaa säännöllisen n-kulmion, siten, että yksi sivu on jana AB. Komento karjet(x) tuottaa karjet listan x:n jäsenen.
kuvio1 = Monikulmio(karjet(1), karjet(2), n)
Tähtikuvion kärkiä varten tarvitaan jakojäännöksiä. Otetaan karjet listasta joka m:s jäsen, toistetaan tätä n kertaa. Annetaan listalle nimi tkarjet. Koska listan jäsenet numeroidaan 1, …, n pitää jakojäännökseen lisätä 1, jotta järjestysnumeroksi ei tulisi nolla.
tkarjet = Jono(karjet(Jakojäännös(i, n) + 1), i, 1, n m, m)
Kun Monikulmio-komennossa on syötteenä lista, niin se tuottaa monikulmion siten, että listan pisteet ovat kärkipisteinä. Tähtikuvio syntyy komennolla
Monikulmio(tkarjet)
Joillain muuttujien arvoilla m ja n syntyy tähtikuvioita. Esimerkiksi m= 5 ja n= 2 tuottaa pentagrammin. Usein kirjallisuudessa käytetään merkintää säännölliselle viisikulmiolle {5/1} ja pentagrammille {5/2}. Aina ei synny tähtikuviota {6/2} on kolmio ja {6/3} on jana. Joskus syntyy tähtikuvio, mutta siinä ei välttämättä ole n kappaletta kärkipisteitä, {18/4} on tähtikuvio, jossa on 9 kärkeä.
Tästähän saa mielenkiintoisen tutkimustehtävän oppilaille. Milloin tulee tähtiä, milloin säännöllisiä monikulmioita ja milloin janoja? Itse asiassa ennen tätä oppilaat voisivat luokitella minkä tyyppisiä kuvioita eri n:n ja m:n arvot tuottavat. Millä n:n arvoilla ei synny lainkaan tähtiä? Millaiset n:n arvot tuottavat tähtiä kaikilla m:n arvoilla 1 < m < n– 1? Lahjakkaammat oppilaat ja opettajat voivat myös pohtia löytämiensä lauseiden todistuksia.
Monte Carlo -menetelmässä käytetään satunnaislukuja, kun simuloidaan hankalan ongelman ratkaisua. Anders Skjäl esitti MAOL eKerhon Facebook-ryhmässä syyslomahupitehtävän: ”Sammakko hyppää yhden pituusyksikön satunnaiseen suuntaan ja sen jälkeen puoli pituusyksikköä uudessa satunnaisessa suunnassa. … Määritä sammakon lopullisen sijainnin todennäköisyysjakauma.” Hetken aikaa ongelmaa pohdittuani totesin, että tuo vaikuttaa ilkeältä integroimisongelmalta, niinpä päätin simuloida sammakon hyppelyä.
Luodaan hyppelyjä kuvaava muuttuja n. Toki tästä voi tehdä myös liu’un, mutta kannattaa pitää sen yläraja mielekkäässä kokoluokassa. Järkevä maksimikokoluokka on noin 10000-100000 riippuen koneen tehosta ja GeoGebra-versiosta.
n = 100
Ensin sammakko hyppää satunnaiseen pisteeseen, jonka napakoordinaatit ovat (1, α), missä kulma α valitaan satunnaisesti väliltä 0 ≤ α< 2 π. Sen jälkeen se hyppää samalla logiikalla (½, β). GeoGebra osaa laskea tämän tyyppisen vektoreiden yhteenlaskun pisteiden välisenä yhteenlaskuna. GeoGebran random()-funktio tuottaa satunnaisluvun. Niinpä sammakon hypyt saadaan simuloitua komennolla
sami = Jono((1; 2πrandom()) + (0.5; 2πrandom()), k, 1, n)
sami = {(1.42; 244.17°), (0.51; 119.69°), …, (1.46; 33.35°)}
Koordinaatistoon ilmestyy pisteitä ½ ja 3/2 -säteisten ympyröiden väliin. Koska sami-listan pisteet on esitetty napakoordinaateissa, niiden etäisyydet ovat sami-listan pisteiden ensimmäiset koordinaatit. Ne saa irrotettua napakoordinaateissa esitetystä pisteestä abs-komennolla, joka kertoo pisteen etäisyyden origosta. Vastaavasti suuntakulman saa arg-komennolla.
etlista = Jono(abs(sami(k)), k, 1, n)
etlista = {1.42, 0.51, …, 1.46}
Luodaan frekvenssien laskennassa tarvittavat välit listaan nimeltä luokat. Alaraja on 0,45, yläraja on 1,55 ja välin pituus 0,1.
luokat = Jono(0.45, 1.55, 0.1)
luokat = {0.45, 0.55, 0.65, 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15, 1.25, 1.35, 1.45, 1.55}
Lasketaan etäisyyksien frekvenssit edellä luodun luokat-listan väleissä Frekvenssi(<Luokkarajalista>, <Datalista>)-komennolla.
f = Frekvenssi(luokat, etlista)
f = {17, 7, 4, 9, 2, 7, 8, 8, 6, 15, 17}
Frekvenssien arvot saa näkymään histogrammina Histogrammi(<Luokkarajalista>, <Korkeuslista>)- komennolla. Muutetaan arvot suhteelliseksi jakamalle ne luvulla n. Jotta pylväät näkyisivät nätisti, kerrotaan ne vielä luvulla 10. Nythän histogrammimonikulmion alaksi tuli 1! Miksi? Hannu Mäkiö laski tiheysfunktiolle sievän muodon.
histo = Histogrammi(luokat, 10 f / n) tih(x) = Jos(0.5 ≤ x ≤ 1.5, (2x) / (π sqrt(1 - (5 / 4 - x²)²)))
Jätän lukijalle tämän tehtävän muokkaamisen kolmiulotteisen sammakon tapaukseen.
Raa’an voiman eli Brute force -menetelmässä käytetään tietokoneen laskentatehoa numeeristen ongelmien ratkaisussa. Simo Kivelä vertaili blogikirjoituksessaan vuoden 1960 ylioppilastehtävän ratkaisemista erilaisilla ohjelmallisilla työkaluilla. Ratkaistaan GeoGebralla tehtävä: ”Laske kaikkien niiden positiivisten kolminumeroisten kokonaislukujen summa, jotka eivät ole jaollisia 9:llä eivätkä 11:llä.”.
Ratkaisussa tarvitaan hieman Boolen logiikkaa ja jaollisuusoppia. Komento Jakojäännös(<Jaettava>, <Jakaja>) antaa tulokseksi jakojäännöksen. Totuusehto ja merkitään GeoGebrassa joko && tai ja erisuuruus != tai ≠. Niinpä saamme CAS:issa seuraavat totuudet eri luvuilla.
(Jakojäännös(99, 11)!=0)&&(Jakojäännös(99, 9)!=0) → false Jakojäännös(22, 11) ≠ 0 ∧Jakojäännös(22, 9) ≠ 0 → false Jakojäännös(13, 11) ≠ 0 ∧Jakojäännös(13, 9) ≠ 0 → true
Jos(<Ehto>, <Niin>, <Muuten>)-komento suorittaa Niin-kohdalla olevan komennon, mikäli Ehtoon tosi, muutoin suoritetaan Muuten-vaihtoehto. Muuten syötteen voi myös jättää pois. Luodaan lista yo, jossa on tehtävän annon luvut.
yo = Jono(Jos((Jakojäännös(n, 11)!=0)&&(Jakojäännös(n, 9)!=0),n,0), n, 100, 999)
yo = {100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 0, 109, 0, …, 998, 0}
Summan saa laskettua Summa-komennolla, sen avulla olisi voinut laskea lukujen summan ilman Jono-komentoa.
Summa(yo) a = 399996 Summa(Jos(Jakojäännös(n, 11) ≠ 0 ∧Jakojäännös(n, 9) ≠ 0, n, 0), n, 100, 999) b = 399996
Brute force -menetelmä tuntuu meistä opettajista usein huijaukselta. Pitää muistaa, että todellisessa maailmassa on valtava määrä ongelmia, joita ei voi sievästi ratkaista koulussa opetetuilla siisteillä menetelmillä.
Tutkitaan seuraavaksi, miten Jono-komennolla saa sisäkkäisiä silmukoita. Tuotetaan koordinaatiston kokonaislukukukoordinaatteihin pisteitä. Koska komennosta tulee aika monimutkaisen näköinen kannattaa tehdä se osissa. Luodaan ensin pisteitä vaakasuunnassa.
pisteet=Jono( (i, 2), i, 1, 5)
Kopioidaan tämä komento ja kirjoitetaan sen ulkopuolelle uusi Jono-komento ja muutetaan pisteen y-koordinaatti.
pisteet2 = Jono(Jono( (i, j), i, 1, 5), j, 2, 4)
Jätän lukijalle tehtäväksi tuottaa suorakulmaisen särmiön kolmiulotteiseen avaruuteen tällä menetelmällä.
Tuotetaan seuraavaksi Pythagoraan kolmioita eli yhtälön x^2 + y^2 = z^2 kokonaislukuratkaisuja z:n arvolla 13. Tälle ongelmalle löytyy useita eri ratkaisumenetelmiä. Käytetään brute force menetelmää sen kummemmin yrittämättä optimoida koodia. Käydään läpi kaikki arvot neliössä, jonka kärkien koordinaatit ovat (-13, -13), (-13, 13), (13, 13) ja (13, -13). Ehtolausekkeessa tarvittava yhtäsuuruusehto näppäillään = = tai ≟.
pyt = Jono(Jono(Jos((i² + j²) = = 169, (i, j)), i, -13, 13), j, -13, 13)
Komento tuottaa listaan paljon (?, ?) pisteitä ja sisäkkäiset kaarisulkeet. Kaarisulkeista pääsee eroon Tiivistä-komennolla ja määrittelemättömistä pisteistä PoistaMäärittelemätön-komennolla.
pyt1 = Tiivistä(pyt) pyt2 = PoistaMäärittelemätön(pyt1)
Yhdellä rivillä koodi olisi aika haastavaa lukea.
pyt3 = PoistaMäärittelemätön(Tiivistä(Jono(Jono(Jos(i² + j² ≟169, (i, j)), i, -13, 13), j, -13, 13)))
Jätän tämänkin ongelman yleistyksen 3D avaruuteen lukijalle kotitehtäväksi. Samalla kehotan kokeilemaan miten kuvan reikäinen kuutio tai marmelaadipyramidi on tuotettu. Voit myös pohtia mitä komento
janat = Jono(Jana((1, 0), Kärkipiste(Monikulmio((1; (360°) / n), (1; 2(360°) / n), n), m)), m, 1, n - 1, 1)
tekee ja miksi Tulo(janat) = n, kun n on luonnollinen luku ja suurempi kuin 2? Komento Kärkipiste( Monikulmio, i)tuottaa monikulmion i:nen kärkipisteen.
Seuraavaksi kirjoittanen Zip-komennosta. Zip-komento vastaa monissa ohjelmointikielissä olevaa map-funktiota. Sen avulla voidaan käydä läpi kaikki syötelistojen jäsenet ja suorittaa niille komentoja. Moni Jono-komento muuttuu yksinkertaisemmaksi Zipin avulla.
Korhonen, Luoma-aho, Rahikka. Geogebra -opas. MFKA 2012.
Reykjavikin luennon materiaali
https://www.geogebra.org/m/afbRGctJ – material/TWhJhFyC
Simo Kivelän blogiartikkeli
http://simokivela.blogspot.com/2017/11/ylioppilastehtava-ennen-ja-nyt.html
Lista GeoGebrassa blogiartikkelini
https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/05/15/listat-geogebrassa/
Star polygon MathWorldissa http://mathworld.wolfram.com/StarPolygon.html
Sammakko-ongelma Facebookissa
https://www.facebook.com/groups/155873227301/permalink/10156656313137302/
Funktion sovittaminen pisteistöön on tyypillinen ongelma, jonka ratkaisemiseminen onnistuu mukavahkosti tietokoneohjelmien avulla. GeoGebrassa on oma työkalu sovitusongelmien ratkaisuun. Lisäksi ohjelmassa on runsaasti sovitus -komentoja.
Tutkitaan ensin Kahden muuttujan regressio -työkalua. Seuraavissa esimerkeissä käytetään kuvan taulukkolaskennan lukuja.
Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Kahden muuttujan regressioanalyysi. Avautuvassa ikkunassa valitaan Analysoija GeoGebra avaa Data-analyysi-ikkunan. Regressiomalli-valikosta voi valita erilaisia sovituksia: Lineaarinen, Logaritminen, Polynomi, Potenssi, Eksponentiaalinen, Kasvu, Sin ja Logistinen.
Ikkunan vasemman yläreunan käsi -ikonin avulla voi muuttaa valittua lukualuetta taulukkolaskennassa, seuraava ∑x -painike näyttää tilastollisia tunnuslukuja liittyen sovitukseen, seuraava painike näyttää mittausdatan, seuraava jäännöskuvion ja viimeinen vaihtaa datan x– ja y-koordinaatit keskenään. Data-ikkunassa voi poistaa yksittäisiä pisteitä ja Jäännöskuvio kertoo pisteiden y-koordinaattien poikkeaman pystysuunnassa valitusta sovituskäyrästä. Oikean yläkulman pienen kolmion takaa löytyy ikkuna, jossa voi lisätä viivadiagrammin, ruudukon ja muuttaa kuvaajan mittasuhteita. Kolmion oikealla puolella olevan pikkuneliön avulla saa kuvaa kopioitua suoraan piirtoalueelle. Siellä on helpompi muokata akseleita ja lisätä akseleille nimet ja yksiköt. Samalla kun kuvaaja siirtyy piirtoalueelle, niin myös Algebra-ikkunaan ilmestyy sovitettu funktio.
Tarkastellaan sitten syöttökentässä ja CASissa käytettäviä sovituskomentoja. Kahden muuttujan regressio -työkalun regressiomallifunktiot käyttäytyvät samalla tavoin kuin sovituskomennot. Komennot tarvitsevat syötteekseen pistelistan. Ennen kuin pistelista luodaan, niin kannattaa käydä valitsemassa Asetukset -> Nimeäminen -> Nimeäminen pois. Näin pisteiden nimet eivät ilmesty piirtoalueelle. Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Luo pistelista.
Avautuvassa ikkunassa voi muuttaa pistelistan nimen, oletuksena se on l1. Annetaan pistelistalle nimi ”pisteet”. Komento SovitaSuora(pisteet) (FitLine) sovittaa pienimmän neliösumman avulla suoran pisteisiin ja antaa sille nimen f. Komento SovitaSuoraX(pisteet) (FitLineX) tekee saman sovituksen, mutta suorat vaihtaa x– ja y-koordinaatit sovitusalgoritmissa. Normaalitilanteessa pienimmän neliösumman sovituksessa ajatellaan, että x-koordinaatit ovat riippumattomia (selittäviä) ja y- koordinaatit riippuvia (selitettäviä) muuttujia. SovitaSuoraX muuttaa y-koordinaatit riippumattomiksi sovitusalgoritmiin.
Sovitetun suoran kulmakertoimen arvon (kuvassa muuttuja a) saa komennolla Kulmakerroin(f)ja vakiotermin arvon (kuvassa muuttuja b) hieman hankalammin Alkio(Kertoimet(f(x),2)).Kertoimetluo listan polynomin f(x)kertoimista ja Alkio(lista, 2)poimii listan toisen jäsenen eli tässä tapauksessa vakiotermin. SovitaSuora-komento poikkeaa muista sovita-komennoista, sillä se tuottaa suoran yhtälön, muut sovita-komennot tuottavat funktion.
Polynomisovitukset tuotetaan komennolla SovitaPolynomi( <Pistelista>, <Polynomin asteluku> ) (FitPoly). Komento SovitaPolynomi(pisteet, 2)luo toisen asteen funktion. Pistelistan tilalla voi olla myös vapaalla kädellä piirretty funktio. Sellaisen saa luotua Piirtoalueen Vapaakäsi-työkalulla. Kuvassa f(x) on toisen asteen sovitus ja p(x) viidennen asteen sovitus pisteet listaan. Funktio h(x) on paraabelisovitus vapaalla kädellä piirrettyyn funktioon g(x).
Algebraikkunassa olevia funktioita voi derivoida, integroida Syöttökentässä tai CAS:issa ja myös niiden ominaisuuksia voi tutkia Funktion-analysointi työkalulla. Se löytyy Piirtoalueen työkaluista Kulma-työkalun ”takaa”.
Eksponentiaalista kasvua varten on sovitukset SovitaEksp(FitExp) ja SovitaKasvu (FitGrowth). SovitaEksp(pisteet)tuottaa muotoa f(x) = a·eb·xolevan funktion ja SovitaKasvutyyliin g(x) = a·bx. GeoGebran kannalta kyseessä on sama funktio, vain esitystapa on erilainen. Mikäli tarvitset laskuissasi luonnollisen logaritmin kantalukua e, niin sen saa GeoGebrassa näppäinkomennolla Alt-e tai Syöttökentän oikean reunan symbolivalikosta. GeoGebra 6:ssa e ja π löytyvät myös virtuaalinäppäimistöltä. Näiden komentojen syötelistan y-koordinaattien tulee olla samanmerkkisiä.
SovitaPotenssi(pisteet)(FitPow) sovittaa funktion, joka on muotoa f(x) = a·xb.Pistelistan x– ja y– koordinaattien tulee olla positiivisia.
SovitaLogist(pisteet)(FitLogistic) sovittaa muotoa f(x) = a/(1 + b e^(- k x)) olevan logistisen funktion. Pistelistan y-koordinaattien tulee olla positiivisia. Pisteiden pitää olla myös riittävästi S:n muotoisella käyrällä.
SovitaLog(pisteet)(FitLog) sovittaa muotoa p(x) = a+ bln(x) olevan funktion. Pisteiden x-koordinaattien tulee olla positiivisia.
Sin-sovitusta varten toin taulukkolaskentaan heiluriin liittyvää mittausdataa. Loin datasta pistelistan nimeltä heiluri. SovitaSini(heiluri)(FitSin)tuottaa muotoa h(x) = a+ bsin(c x+ d) olevan funktion. Kokemus osoittaa, että jos pisteitä on runsaasti, suuruusluokkaa satoja, niin komento ei toimi aina täydellisesti.
Usein kun sovitetaan mittausdataa, tulee tarve määrittää itse sovitusfunktio. Jos haluaa pakottaa sovitussuoran tai paraabelin kulkemaan origon kautta, niin komennolla Sovita( <Pistelista>, <Funktiolista> )(Fit) se onnistuu. GeoGebra määrittää funktiolistan kertoimet sovituskäyrälle. Niinpä Sovita(pisteet, {x})sovittaa origon kautta kulkevan suoran ja Sovita(pisteet, {x, x^2})origon kautta kulkevan toisen asteen polynomin.
Ehkä mielekkäämpi tapa käyttää Sovita-komentoa on kirjoittaa sovitettava lauseke komennon syötteeksi tyyliin Sovita( <Pistelista>, <Funktio> ). Origon kautta kulkeva suora olisi sovitettu komennolla Sovita(pisteet, k x).
Syksyn 18 fysiikan ylioppilaskokeessa oli tehtävä, jossa oli mittaustuloksia kahvin lämpötilasta ajan funktiona. Luodaan mittaustuloksista pistelista kahvi. Mittaustulokset näyttävät noudattavan Newtonin jäähtymislakia. Komento Sovita(kahvi, a b^x + c)tuottaa funktion, joka kulkee melkoisen hyvin pisteiden kautta. Tosin pisteiden alku- ja loppupäät poikkeavat selvästäsi mallin tuottamasta käyrästä. Komentoa käytettäessä GeoGebra luo vakioita vastaavat liu’ut. Lisäksi pitää tarkistaa Algebra-ikkunasta, että vakioina käytettävät muuttujat eivät ole aiemmin määriteltyjä.
Splini( <Pistelista> )-komento (Spline) luo pistelistan pisteiden kautta kulkevan splinikäyrän. Splini on paloitellusti määritelty parametrinen käyrä. Palat koostuvat kolmannen asteen käyristä siten, että liitoskohdissa käyrä on jatkuva ja derivoituva. Toki käyrän derivoiminen ei onnistu kovin helposti, koska kyseessä on parametrinen käyrä. Käyrälle voi piirtää tangentin jokaiseen pisteeseen. Korkeamman asteen splinejä saa syntaksilla Splini( <Pistelista>, <Asteluku ≥ 3> ). Splinejä ei kannata käyttää, jos mittaustuloksissa on paljon ”virhettä” koska käyrä kulkee kaikkien pisteiden kautta ilman pehmennystä.
Kuvassa f(x)=SovitaKasvu(kahvi),g(x)=Sovita(kahvi, a+b*c^(x))ja d: Splini(kahvi).
Implisiittinen sovittaminen pyrkii tuottamaan n:n asteen xy-tasokäyriä. Pisteiden lukumäärän tulee olla vähintään pistettä. Yritetään piirtää vapaalla kädellä tietokoneen hiirellä yksikköympyrä mahdollisimman hyvin. Luodaan ensin piste A = (0,1). Jotta pisteen koordinaatit saadaan tallentumaan taulukkolaskentaan, sen ikkunan tulee olla näkyvissä.
Valitaan hiiren oikealla painikkeella piste A ja avautuvasta valikosta Tallenna taulukkoon. Kun avautuneen ikkunan sulkee, voi alkaa liikuttaa pistettä A ja pisteen koordinaatit tallentuvat taulukkolaskentaan. Kun taulukkolaskennassa valitaan A:n liikkuessa luodut pisteet jaLuo pistelista, niin pisteet ilmaantuvat piirtoalueelle ja oletuksena syntyy lista l1. Komennolla SovitaImplisiittisesti(l1, 2) (FitImplicit) ohjelma tuottaa toisen asteen käyrän. Algebraikkunassa GeoGebra ilmoittaa, että se on Implisiittinen käyrä. Katsomalla sitä tunnistan tai paremminkin arvaan, että kyseessä on ellipsi. Kokeile itse korkeamman potenssin sovituksia ja jos olet rohkea, niin pohdi miten algoritmit ovat niihin päätyneet.
Jostain kumman syystä GeoGebra ei tunnista, että implisiittinen käyrä aon oikeasti kartioleikkaus. Niinpä Syöttökentän komennolla ymp = aohjelma luo kartioleikkauksen siten, että se toimii GeoGebran kartioleikkauskomentojen kanssa. Kartioleikkausten symmetriakeskus saadaan komennolla Keskus(ymp),polttopisteetPolttopiste(ymp)ja ellipsin eksentrisyys komennolla Eksentrisyys(ymp).
Mikäli haluat tutusta monipuolisiin esimerkkeihin GeoGebra sovituskomennoista, niin kannattaa hankkia ruotsalaisten ystävieni Jonaksen ja Thomaksen ”Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra” -kirja. Kirjassa on useita kymmeniä pisteistön sovittamiseen liittyviä esimerkkejä liittyen muun muassa kemiaan, fysiikkaan, lääketieteeseen ja taloustieteeseen. Tätäkin kirjoittaessa olen selannut kirjaa aika paljon.
Lue lisää
Korhonen, Luoma-aho, Rahikka. Geogebra -opas. MFKA-Kustannus 2012.
https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/05/15/listat-geogebrassa/
Hall, Lingejärd. Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra. Wiley 2017.
Kirjan materiaalisivu. http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=1119102723&bcsId=10240
GeoGebran käyttöohjeen Fit-komennon wiki-sivu https://wiki.geogebra.org/en/Fit_Command
Spline Wikipediassa. https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics)
Tulostettava versio
64000€:n laina maksetaan tasaerinä viidessä vuodessa kuukausittain korkokannalla 3.6 %/a.
Seuraavissa ratkaisussa näytän miten GeoGebran CAS:in avulla saa tehtävän ratkaistua Lyhyen matikan Talousmatikan MB6 kurssilla. Kyseessä ei ole malliratkaisu, vaan tarkoituksena näyttää eri tapoja miten GeoGebran komentoja voi käyttää.
1 Laske tasaerä eli annuiteetti.
Maksuerä( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> ) <Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä. <Korkokausien lukumäärä> on korkokausien lukumäärä. <Nykyarvo> on lainapääoma laina-ajan alussa. <Tuleva arvo (valinnainen)> on lainapääoma lopussa, useimmiten se on nolla. <Laji (valinnainen)>, sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin korko kuun alussa.
Tasaerä eli annuiteetti on 1167,14€.
2 Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.
Ensimmäisellä kerralla korko on 192€ ja ensimmäinen lyhennys 975.14€.
3 Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?
TulevaArvo( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Nykyarvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> ) <Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä. <Korkokausien lukumäärä> on kuinka monennen maksuerän kohdalla lainapääoman arvo lasketaan. <Maksuerä> on annuiteetin arvo miinusmerkkisenä, ole tämän kanssa huolellinen. <Nykyarvo (valinnainen)> on lainapääoma alussa. <Laji (valinnainen)>,sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin kuun alussa.
Lainapääoma ennen kolmannen vuoden ekaa maksukertaa on 26967,70€.
4 Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?
Kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla korko on 80,96€ ja lyhennys 1086,18€?
5 Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?
Viimeinen lyhennys on lainapääoma ennen viimeistä maksukertaa eli 1163,65€ ja korko 3,49€. Näiden summan pitäisi olla yhtä suuri kuin annuiteetti, testaa onko.
6 Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?
Korkoa maksetaan yhteensä 6028,40€.
