Pidin workshopit Abitti – Case Hyl (1 kpl) ja GeoGebra lyhyessä matematiikassa ja fysiikassa (2 kpl). Oli mukava kouluttaa samanhenkisiä opettajia. Näillä opettajilla digiahdistus ei puskenut esiin lainkaan. Alla esittämäni diasarjat, saat käyttää niitä omiin tarpeisiisi jos siltä tuntuu.
Olen ollut muutaman tunnin peruskoulun 8-luokalla kollegani sijaisena. Hänen pyynnöstään olemme opiskelleet GeoGebra 5:llä “koodaamista”.
Pari tuntia teimme Jono-komennolla kuviota tasoon ja 3D-avaruuteen. Samalla opetin listojen käsittelyä ja näytin myös Zip-komennon toiminnan. Ainakin osa oppilaista sisäisti komentojen toiminnan melko hyvin. Palaan näihin joskus tuonnenpana.
Yksi kaksoistunti käytettiin lumiukon tuottamiseen. Samalla opiskeltiin lumiukon liikuttamista. Esitänpä, miten tuotin oman lumiukkoni.
Loin pisteet A = (0, 0, 2), B = (0, 0, 5.5) ja C = (0, 0, 8).
Lumipallot saadaan Pallo-komennolla, a = Pallo(A, 2.2), b = Pallo(B, 1.6) ja c = Pallo(C, 1.2).
Koristelin ylimmän pallon pintaa pistetyökalulla, näin sain silmät, nenän ja suun. Yksi silmistä sai nimen D. Käytin sitä hyväksi kun loin kartion pipoksi.
Loin pisteen z- akselille L = (0, 0, z(D)) silmän korkeudelle.
Komento k = Kartio(L, (0, 0, 11), Etäisyys(D, L)) luo kartion, jonka pohjaympyrän keskipiste on L, kärki pisteessä (0, 0, 11) ja pohjaympyrän säde pisteiden D ja L etäisyys.
Lumiukon saa liikkeelle vaikkapa seuraavalla tavalla.
Luodaan liuku t kirjoittamalla syöttökenttään t = 5 ja klikkaamalla Algebraikkunassa t:n kohdalla olevaa pallukkaa. Liu’un t asetuksista (hiiren oikealla painikkeella) määritetään liu’un minimiarvoksi 0.01, maksimiarvoksi 1 ja animaatioaskeleeksi 0.01. Lumiukko liikkuu pisteeseen M asti, niinpä luon pisteen M = (5, 5, 0) ja origon ja M:n väliin liikkuvan pisteen PP. Sen luonnissa käytän Tim Brzezinskin minulle opettamaa venytystä.
PP = Venytys((0, 0, 0), Jos(0 < t < 1, 1 – t, 0), M)
Lumipallon liikkuvat osat luon listaksi nimeltä osat = {a, b, c, D, E, F, G, L, k, …}. Lumipallon osat liikkuvat komennon liike = Siirto(osat, PP)
Jätän lukijalle pohdittavaksi miten sain osat liikkumaan siten, että pystyin muuttamaan osien värejä.
Tiedosto löytyy täältä.
M
Reykjavikin kokouksen teemana oli maahanmuuttajien matematiikan opiskelun auttaminen. Konferenssissa Göteborgin yliopiston matematiikan didaktiikan dosentti Thomas Lingefjärd kertoi hankkeesta, jossa hän on käännättänyt matematiikan käsitteitä muutamille kielille (arabia, somalikieli, turkki, farsi, kurdi …). Hän on luonut äänettömiä videoita, jotka havainnollistavat kyseisiä käsitteitä. Ideana on, että opettaja näyttää oppilaalle videon ja kertoo käsitteestä. Samalla oppilas näkee käsitteen käännettynä omalle kielelleen.
Reykjavikissa päätimme alkaa yhteistyön Thomaksen kanssa ja tuottaa käännöksiä myös suomen kielellä. Tätä kirjoitettaessa on tuotettu noin 20 äänetöntä videota, jossa on mukana suomenkielinen käännös.
Videot on koottu Suomen GeoGebra -verkoston Materiaalit- sivulle
https://geogebrasuomi.wordpress.com/matikan-kasitteita-eri-kielilla/
Jakakaa tietoa videoista opettajille, jotka työskentelevät maahanmuuttajien kanssa.
Otsikkona voisi olla myös, hidastettua tekemistä tietokoneella. Kävin Kuusamossa kouluttamassa yläkoulun opettajia Geogebran käytössä. Kiitoksia järjestäjille ja osallistujille. Koulutukseen valmistautuessa kokosin ajatuksiani, miten suoran piirtämisen opettaisin yläkoululaisille. Kysymys saattaa tuntua turhalta. Kirjoitat vain syöttökenttään tai CAS-ikkunaan suoran yhtälön y=2x-1 ja painat enteriä. Kone piirtää. Ei tämän asian oppimiseen sen enempää aikaa tarvita. Harjoitellaan vielä vaihtelemalla kulmakerrointa ja vakiotermiä. Kymmenen minuuttia ja sitten voidaankin mennä sovellustehtäviin.
Funktion kuvaajan käsitteen oppiminen on iso, abstrakti askel. Aloitetaan GeoGebralla aivan kuten vihkoonkin tehtäessä. Tehdään taulukko. Avataan Geogebran taulukkolaskenta ja kirjoitetaan ensimmäiselle riville otsikot. Kun halutaan kirjoittaa tekstiä, se laitetaan lainausmerkkeihin. On makuasia, harjoitellaanko x:n arvoja annettaessa täyttökahvan käyttöä, vain syöttävätkö opiskelijat arvot itse. Ei siinä niin paljoa aikaa kulu.
Funktion arvoja laskettaessa voitaisiin edetä monella eri tavalla. Alla olevassa taulukossa on esitetty eri tapoja. Vasemmanpuoleisin tapa voi joskus olla perusteltu, mutta jatkon kannalta suosisin oikeanpuolista. Neljäntenä vaihtoehtona on, että oppilaat laskevat funktion arvot vihkoon. Keskimmäisessä vaihtoehdossa funktion määrittäminen tuo suoraan näkyviin myös funktion kuvaajan. Halutaanko se tässä vaiheessa näkyviin?
Riipumatta tavasta, jolla y:n arvot laskettiin, nyt meillä on taulukko valmiina. Pisteet saadaan näkyviin piirtoikkunalle valitsemalla taulukossa olevat luvut ja valikosta luo pistelista -komento.
Koska en ollut muistanut laittaa asetuksista automaattista nimeämistä pois, jokaisen pisteen nimi on nyt näkyvissä. Taulukkoon voisi vielä lisätä sarakkeen pisteille. Ehkä tässä kohtaa täyttökahvan käyttö olisi perusteltua. Viimeisenä voisimme sitten piirtää sen suoran, joko algebraikkunassa tai CAS-ikkunassa.
Tuottaako koneella tekeminen mitään uutta vihkoon piirtämiseen verrattuna? Opitaan vähän koneen käyttöä, mutta tähän asti ei oikeastaan ole ollut kovin suurta eroa. Jos taulukkoon laskit y:n arvot käyttämällä funktiota tai syöttämällä kaavan, voit seuraavaksi piirtoikkunassa ottaa pisteestä kiinni ja piste liikkuu pitkin suoraa. Voimme laittaa pisteen ominaisuuksista jäljen käyttöön, ja saamme funktion kuvaajan esille. Samalla kun liikutamme pistettä, taulukossa sen koordinaatit muuttuvat. Tästä voisi olla apua epäyhtälön käsitteen tarkastelussa, kun mietitään, millä x:n arvolla y koordinaatti on positiivinen tai negatiivinen. Voit vaikkaa muuttaa liikuteteltavan pisteen väriä y:n merkin mukaan.
Lukion pitkässä matematiikassa paloittain määritelty funktio tulee kuin varkain. Samaan aikaan kuin raja-arvo ja jatkuvuus. Islannin Geogebrakonferenssin yhteydessä minulla oli mahdollisuus seurata sikäläisen lukion opetusta. Kaksoistunnin (2 * 60 min) aiheena oli paloittain määritelty funktio. Vaikka opettaja tiesi, miten paloittain määritellyn saisi yhdellä komennolla tehtyä, hän uudelleen ja uudelleen teki suoraavanlaisia kuvaajia, jotka rauhassa myös selitti.
Kuvaajaan siis piirrettiin molemmat funktiot ja ylimääräiset osat sutattiin yli. Tällöin opiskelijoiden piti aktiivisesti katsoa, millä x:n arvolla ensimmäisen funktion kuvaaja loppuu ja toisen alkaa.
Saman asian voisi tehdä seuraavalla tavalla.
Itse suosin lukiossa kirjoittamista CAS-ikkunassa, koska silloin opiskelija voi helpolla kokeessa ottaa kuvakaappauksen CAS-ikkunaan kirjoittamista riveistä. Kun funktion määrittelyehdon antaa pilkun jälkeen, CAS-ikkunassa näkee, että GeoGebra muuntaa ilmaisun jos-funktioksi.
Esimerkiksi raja-arvon laskemista varten olisi hyvä kirjoittaa funktio alunperin muodossa
””f(x):=jos[x<1, -2x+1, x^2-1]”
Mutta, ennen kuin tähän voidaan mennä, pitäisi paloittain määritellyn funktion käsite olla jo tuttu. Tällä hetkellä unelmoin, että MAA2 kurssiin saisin ujutettua samanlaista työskentelyä, mitä Islannissa näin. Aikaa ja rauhaa oppimisellle.
Ohjvideo sovelman rakentamiseen esim. MAA7-kurssille.
Mikä pitää kulman α suuruuden olla, että nelikulmion pinta-ala on suurin?
Ohjevideo pallopyramidin rakentamiseen GeoGebralla.
