Annuiteettilasku GeoGebralla

64000€:n laina maksetaan tasaerinä viidessä vuodessa kuukausittain korkokannalla 3.6 %/a.

  1. Laske tasaerä eli annuiteetti.
  2. Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.
  3. Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?
  4. Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?
  5. Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?
  6. Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Seuraavissa ratkaisussa näytän miten GeoGebran CAS:in avulla saa tehtävän ratkaistua Lyhyen matikan Talousmatikan MB6 kurssilla. Kyseessä ei ole malliratkaisu, vaan tarkoituksena näyttää eri tapoja miten GeoGebran komentoja voi käyttää.

1 Laske tasaerä eli annuiteetti.

Maksuerä( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on korkokausien lukumäärä.
<Nykyarvo> on lainapääoma laina-ajan alussa.
<Tuleva arvo (valinnainen)> on lainapääoma lopussa, useimmiten se on nolla.
<Laji (valinnainen)>, sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin korko kuun alussa.

Tasaerä eli annuiteetti on 1167,14€.

2 Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.

Ensimmäisellä kerralla korko on 192€ ja ensimmäinen lyhennys 975.14€.

3 Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?

TulevaArvo( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Nykyarvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on kuinka monennen maksuerän kohdalla lainapääoman arvo lasketaan.
<Maksuerä> on annuiteetin arvo miinusmerkkisenä, ole tämän kanssa huolellinen.
<Nykyarvo (valinnainen)> on lainapääoma alussa.
<Laji (valinnainen)>,sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin kuun alussa.

Lainapääoma ennen kolmannen vuoden ekaa maksukertaa on 26967,70€.

4 Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?

Kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla korko on 80,96€ ja lyhennys 1086,18€?

5 Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?

Viimeinen lyhennys on lainapääoma ennen viimeistä maksukertaa eli 1163,65€ ja korko 3,49€. Näiden summan pitäisi olla yhtä suuri kuin annuiteetti, testaa onko.

6 Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Korkoa maksetaan yhteensä 6028,40€.

 

Mainokset

Lista

Tämä artikkeli on aluperin julkaistu sivulla https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/05/15/listat-geogebrassa/

Listat ovat GeoGebran tapa muodostaa kokoelmia erilaista objekteista. Esimerkiksi yhtälön ratkaisujoukko on GeoGebrassa lista. Mikäli haluaa oppia tekemään monimutkaisempia sovelluksia, niin kannattaa opiskella mitä listoilla voi tehdä. Tämän pitkähkön artikkelin jatko-osana tullee ilmestymään artikkelit Sovitus-, Jono- ja Zip -komennoista.

Lista

Lista on kokoelma GeoGebran objekteja. Listan jäsenet eli alkiot erotellaan pilkuilla ja ympärille laitetaan aaltosulkeet {}. Matematiikassa listaa vastaa lähinnä jono, ohjelmointia harrastaneille listan syntaksi on perinteinen. Listassa voi olla sama objekti jäsenenä useamman kerran ja listan jäsenten järjestyksellä on väliä.

{1, 2} == {2, 1}
 → false

Yllä olevassa esimerkissä kaksi peräkkäistä =-merkkiä tuottaa GeoGebrassa totuusarvon. Pyrin kirjoittamaan siten, että GeoGebran komennot (eli funktiot) kirjoitetaan GeoGebra 5-version CAS:iin. GeoGebran CAS solun tulosteessa näkyy nuoli →. Kun tekstissä viittaan GeoGebran komentoon, niin laitan komennon nimen lihavoituna ja englanninkielisen version lihavoituna kursiivilla. Komennot voi toki kirjoittaa myös syöttökenttään ja GeoGebran 6-versiosta lähtien näkyy Algebraikkunassa tuloste selkeästi. On muutamia listakomentoja, jotka eivät toimi CAS-ikkunassa.

Määritellään CAS:issa lista nimeltä L. GeoGebrassa muuttujan tai funktion määrittely tehdään merkkiparin ≔ avulla.

L := {-5, -2, 1, 4}
 → L:={-5, -2, 1, 4}

Tässä yhteydessä on hyvä oppia kolme eri merkitystä matematiikan yhtäsuuruusmerkille. GeoGebran CAS:issa ”=” tarkoittaa yhtälön yhtäsuuruutta y = 2 x + 1; yhtälöiden kuvaajat näkyvät piirtoalueella ja yhtälöistä voi CAS:issa ratkaista kirjainmuuttujia, ”≔” on muuttujan tai funktion määrittelyssä oleva merkki tyyliin;  a≔5 tai f(x)≔ 2x – 5 ja ==- tutkii totuutta 2==3. Seuraavissa esimerkeissä käytetään muuttujan L arvona kyseistä listaa. Listassa L on neljä alkiota eli sen Pituus (Lenght) on neljä.

Pituus(L)
 → 4

Listoille voi tehdä erilaisia matemaattisia operaatioita. Kannattaa kokeilla miten eri laskutoimitukset vaikuttavat listaan. Ja tietysti komennot Summa(Sum) ja Tulo(Product) toimivat.

2*L
 → {(-10), (-4), 2, 8}

L+L
 → {(-10), (-4), 2, 8}

L^2
 → {25, 4, 1, 16}

sin(L°)
 → {(-0.08715574274766), (-0.03489949670252), 0.01745240643728, 0.06975647374412}

Summa(L)
 → -2

Tulo(L)
 → 40

Listan n:s alkio saadaan Alkio-komennolla (Element). Alkio-komennossa on kaksi muuttujaa, lista ja järjestysluku.

Alkio(L, 3)
 → 1

Edellistä voi käyttää esimerkiksi seuraavasti. GeoGebran Ratkaise(Solve) komento ratkaisee yhtälön ja tuottaa ratkaisun listana, jossa ratkaisut ovat yhtälöinä. Tämä vastaa samaa, jos käytetään CAS:in Ratkaise-työkalua. Ratkaisut(Solutions)-komento tuottaa yhtälön ratkaisun tarkat arvot listana. Tutkitaan toisen asteen yhtälöä ja sen ratkaisuja. Laiskuuksissani määritän ensin funktion f ja käytän sitä komennoissa. Bonuksena GeoGebra piirtää kuvaajan Piirtoalueelle. Ratkaisut-komennon ratkaisulle käytän muuttujaa, jonka nimeän R:ksi.

f(x):=2x² - 4x – 5
 → f(x):=2x² - 4x – 5

Ra ≔ Ratkaise(f(x)=0)
{x = (-sqrt(14) + 2) / 2, x = (sqrt(14) + 2) / 2}

R:=Ratkaisut(f(x)=0)
{(-sqrt(14) + 2) / 2, (sqrt(14) + 2) / 2}

Lasketaan tarkistuksen vuoksi funktion arvo nollakohdissa ja yhtälön ratkaisujen tulo.

f(R)
 → {0, 0}

Alkio(R, 1)*Alkio(R,2)
 → -5/2

Toki edellisen olisi saanut laskettua tulon avulla.

Tulo(R)
 → -5/2

Tai käyttämällä yhtälöitä kertomalla yhtälöt puolittain.

Tulo(Ra)
 x^(2)= -5/2

Jono-komennon (Sequence) avulla voi helposti tuottaa erilaisia jonoja. Palaan Jono-komennon syvällisempään käyttöön ja sen syntaksiin tulevassa artikkelissa. Jono vastaa for-next -silmukkaa perinteisessä ohjelmoinnissa. Seuraavan esimerkin Jono-komennon ensimmäinen muuttuja on lauseke, tässä tapauksessa koordinaatiston piste (n, n^2), seuraavassa kerrotaan muuttuja nimi n, kolmas muuttuja on alkuarvo 0 ja viimeinen loppuarvo 5. Luodaan pisteitä koordinaatistoon.

 Pisteet: = Jono(n,n^2), n, 0, 5)
 → {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}

Koska lista Pisteet koostuu koordinaatiston pisteistä, niin sitä kutsutaan pistelistaksi. Taulukkolaskennassa on helppoa tuottaa pistelistoja. Valitaan kaksi saraketta ja hiiren oikean painikkeen valikosta Luo -> Pistelista. Kun tehdään toisen asteen polynomisovitus listan pisteille, saadaan tietysti alkuperäistä lauseketta vastaava polynomi. Fysiikan ja kemian opettajille GeoGebran Sovita-alkuiset komennot ovat aika mukavia, kun tutkitaan mittaustuloksia, palaan tähän aiheeseen myöhemmin.

SovitaPolynomi(Pisteet, 2)
 → x^2

Kuva1

Poimiminen ja lisääminen

Ensimmäinen(First)-komento tuottaa listan ensimmäisen alkion listana. Muistin virkistyksenä Alkio palauttaa alkion jäsenen, ei listaa. Useimmiten itse käytän Alkio-komentoa kun tarvitsen listan ensimmäistä arvoa.

Ensimmäinen(L)
 → {-5}

Alkio(L, 1)
 →-5

Viimeinen(Last) toimii kuten Ensimmäinen. Jostain kummasta syystä tätä kirjoitettaessa Alkio(L, Pituus(L)) tuottaa virheilmoituksen. Pitää selvittää asiaa.

Viimeinen(L)
 →{4}

Alkio(L, 4)
 →4

 Liitos (Append) lisää objektin listan loppuun, jostain kumman syystä se ei toimi etupuolelle, vaikka GeoGebran ohje niin kertookin.

Liitos(L,0)
 → {-5, -2, 1, 4, 0}

Liitä (Join) liittää yhden tai useamman lista yhdeksi.

 Liitä({1, 2, 3},{9, 8, 7})
 → {1, 2, 3, 9, 8, 7}

LisääListaan-komennon (Insert) avulla saa lisättyä alkioita haluamaansa paikkaan. Mikäli paikan järjestysluku on negatiivinen, niin paikka lasketaan lopusta alkaen Pythonin tyyliin.

LisääListaan( 13, {2,  4, 6, 8, 10}, 3)
 → {2, 4, 13, 6, 8, 10}

LisääListaan( {13, 42}, {2,  4, 6, 8, 10}, -3)
 → {2, 4, 6, 13, 42, 8, 10}

Poimi (Take) valitsee listasta alkioita. Ensimmäisessä esimerkissä poimitaan listan alkiot neljännestä alkiosta loppuun ja toisessa alkiot alemmassa toisesta neljänteen.

Poimi( {2, 4, 6, 8, 10}, 4)
 → {8, 10}

Poimi({2, 4, 6, 8, 10}, 2,4)
 → {4, 6, 8}

Poista(Remove)-komennon avulla voi poistaa alkioita jotka ovat toisessa listassa. Vain ensimmäinen alkio poistetaan.

Poista({1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {2, 4, 6} )
 → {1, 2, 2, 3, 5, 7}

Edellisessä esimerkissä Poista-komento poisti toisen listan alkiot vain yhden kerran. Jos haluaa, että lista käyttäytyy kuin joukko-opillinen joukko, niin pitää käyttää apuna Yksinkertainen(Unique)-komentoa.

Yksinkertainen({1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6})
 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Joskus Jos-ehtoa käytettäessä Jono-komennon kanssa syntyy listoja, joissa on määrittelemättömiä alkioita. Ne saa pois PoistaMäärittelemätön(RemoveUndefined) -komennon avulla. Alla on etsitty kolmella jaollisia lukuja.

Lista:=Jono(Jos(mod(n, 3)==0,n), n, 10, 20)
 → {?, ?, 12, ?, ?, 15, ?, ?, 18, ?, ?}

PoistaMäärittelemätön(Lista)
 → {12, 15, 18}

Sekoittaminen ja arpominen

 Sekoita(Shuffle)-komento sekoittaa listan alkiot ja tuottaa uuden listan niistä.

Sekoita({"pataA", "herttaA", "ristiA", "ruutuA" })
 → {"herttaA", "ristiA", "pataA", "ruutuA"}

SatunnainenAlkio(RandomElement)-komento poimii satunnaisen alkion.

SatunnainenAlkio({"pataA", "herttaA", "ristiA", "ruutuA"})
 → pataA

Arpominen luvuista 1, 2, …, 666 olisi onnistunut myös komennolla

Satunnaisluku(1, 666)
 → 42

Lajittele (Sort) lajittelee, sen muuttujana olevan listan pienemmyysjärjestykseen. Jos listan alkiot ovat tekstiä, niin ne aakkostetaan.

Lajittele({3, 2, 1})
 → {1, 2, 3}

Järjestysarvo(OrdinalRank)-komento liittyy lukuarvojen suuruusjärjestykseen. Minulle ei tule mieleen tilannetta, jossa tätä tarvitsee käyttää, mutta ehkäpä jonain päivänä tätäkin tarvitaan. Järjestysarvo kertoo sen järjestysluvun, mikä alkioilla olisi ollut kun ne järjestetään pienemmyysjärjestykseen. Tasapelejä ei sallita. Oletetaan, että meillä on arvosanoja listassa ja käytetään Järjestysarvo-komentoa.

arvosanat:={4, 8, 5, 7, 7, 10, 7, 9}
 → arvosanat:={4, 8, 5, 7, 7, 10, 7, 9}

Järjestysarvo(arvosanat)
 → {1, 6, 2, 3, 4, 8, 5, 7}

Nyt tiedän, että arvosana 4 on pienin eli ensimmäinen, arvosana 8 on kuudes, arvosana 5 on toinen kyseisessä listassa.

Käytetään samaa listaa JaettuSijoitus(TiedRank)-komennolla. Nyt tasapelit on sallittu.

JaettuSijoitus(arvosanat)
 → {1, 6, 2, 4, 4, 8, 4, 7}

JaettuSijoitus-komennon luvut 4 kertovat, että arvosanat 7 ovat tasapelillä sijalla 4 ja arvosana 8 (joka oli toisena ensimmäisessä listassa) on sijalla 6.

Summa ja tulo

Summa(Sum) laskee jonon alkioiden summan. Summassa voi käyttää myös Jono-komennon  kaltaista syntaksia Summa( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo> ).

L
 → {(-5), (-2), 1, 4}

Summa(L)
 → -2

Summa(Jono(1, 42))
 → 903

Summa(i, i, 1, 42)
 → 903

Tulo(Product) on kertolaskua, se toimii kuten Summa-komento.

Tulo(L)
 40

Tulo(i, i, 1, 42)
 → 1405006117752879898543142606244511569936384000000000

 

Yhdiste ja leikkaus

Tiivistä(Flatten)-komento tekee yhden lista useamman listan alkiosta. Käytännössä Tiivistä poistaa kaikki sisemmät aaltosulkeet listojen listasta.

Tiivistä({L, {L,{L}}, {1,2,3, {3, 2,1}}})
 → {(-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, 1, 2, 3, 3, 2, 1}

Yhdiste(Union) vastaa joukko-opin yhdistettä. Se yhdistää listat ja samalla poistaa ylimääräiset samat alkiot.

Yhdiste({1,2,2,3,3,3},{2, 3, 4, 5, 5})
 → {1, 2, 3, 4, 5}

YhteisetAlkiot(Intersection) vastaa joukko-opin leikkausta. Se tuottaa listan niistä alkioista, jotka ovat molemmissa listoissa.

YhteisetAlkiot({1,2,2,3,3,3},{2, 3, 4, 5, 5})
 → {2, 3}

Frekvenssi ja histogrammi

Frekvenssi(Frequency)-komento palauttaa listan, jossa on syötelistan alkioiden lukumäärät. Tällä komennolla on runsaasti erilaisia syötemahdollisuuksia.

Frekvenssi({(-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, 1, 2, 3, 3, 2, 1})
 →{3, 3, 5, 2, 2, 3}

Nyt tiedän, että lukuja -5 on 3 kappaletta, lukuja -2 on 3 kappaletta, ykkösiä on 5 ja niin edelleen. Luodaan luokkarajalista Jono-komennolla ja käytetään sitä frekvenssi-komennon ensimmäisenä syötteenä.

rajat:=Jono(n-.5,n, -5, 5)
 →rajat:={-5.5, -4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5}

arvot≔Frekvenssi(rajat, {(-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, (-5), (-2), 1, 4, 1, 2, 3, 3, 2, 1} )
 →arvot≔{3, 0, 0, 3, 0, 0, 5, 2, 2, 3}

Näin saatuja listoja voi käyttää Histogrammi(Histogram)-komennon kanssa tuottamaan jakauman histogrammin piirtoalueelle.

Histogrammi(rajat,arvot)
 →18

Histogrammin saa näkymään CASissa kun klikkaa solun vasemmassa reunassa olevaa pallukkaa. Luku 18 on histogrammin muodostaman monikulmion pinta-ala.

Tässä vaiheessa on muistutettava, että GeoGebran taulukkolaskenta ja Yhden muuttujan analyysi -työkalu helpottaa huomattavasti tilastollisen aineiston käsittelyä.

Kuva2

Datafunktio

Datafunktio(Datafunction) tuli GeoGebraan sensorit-hankkeen myötä. Fysiikan ja kemian opettajien kannattaa tutustua tähän funktioon, vaikka sen toiminnallisuus ei hivele täydellisyyttä. Ajatuksena on ollut käyttää mobiililaitteista saatavaa anturidataa GeoGebran kanssa. Unkarilainen hanke on ollut käsittääkseni jäissä EU-rahoituksen puutteen myötä muutaman vuoden. Komento piirtää x-koordinaatti- ja y-koordinaatti -listasta kuvaajan ja muodostaa murtoviivan pisteiden välille. Peräkkäisten mittauspisteiden muodostavien janojen avulla saadaan integroituva, mutta ei derivoituva funktio. Tämä on yleinen tapa runsasta mittausdataa käyttävien ohjelmien kanssa. Datafunktion luomaa funktiota voi tutkia myös Funktion analysointi -työkalulla.

Luodaan paikka-niminen lista taulukkolaskentaan tuodusta mittausdatasta. Tätä funktiota tutkiessani havaitsin, että se ei toimi CAS:issa määriteltynä siten kuin haluan. Tämänkin ymmärtää, että runsaan datamäärän kanssa työskennellessä tarkat arvot eivät ole enää mielenkiintoisia. Niinpä pitää käyttää syöttökenttää. Alla oleva mittausdata on tuotu taulukkolaskentaan (hiiren oikea painike ja Tuo datatiedosto…). Sieltä valittu alue on määritelty paikka-nimiseksi pistelistaksi Luo pistelista-työkalun avulla.

paikka
 → { (0, 0.029), (0.05, 0.029), (0.1, 0.036), (0.15, 0.044), (0.2, 0.062), (0.25, 0.082), (0.3, 0.104), (0.35, 0.114), (0.4, 0.135), (0.45, 0.138), (0.5, 0.14)}

Datafunktio vaatii syötteekseen x-koordinaattilistan ja y-koordinaattilistan.

Datafunktio(x(paikka), y(paikka))
→ f(x) := Datafunktio[x]

Piirtoalueelle ilmestyy pisteet näkyy kuvaaja ja Algebraikkunassa näkyy uusi funktio.

Tälle funktiolle voi laske arvoja ja määrittää integraaleja. Jostain kumman syystä reunat eivät voi olla päätepisteiden x-arvojen suuruisia. Tämän funktion tutkiminen käynee helpoimmin Funktion analysointi-työkalun avulla. Syöttökenttä tuottaa

f(0.2)
→  0.062

Integraali(f, 0.1, 0.49)
≈ 0.037

Kuva3

Pudotusvalikko

Listan saa toimimaan pudotusvalikkona. Määritellään ensin lista, jossa on eri funktioita

arvot≔ {x, 2x, x², 2x²}
 → arvot≔ {x, 2x, x², 2x²}

Listasta saa pudotusvalikon, kun avaa Algebraikkunassa hiiren oikean painikkeen avulla lista ominaisuudet ja ruksaa kohdan Lista pudotusvalikkona. Piirtoalueelle ilmestyy pudotusvalikko. Komentojen ValittuAlkio(SelctedElement), ja ValittuIndeksi(SelectedIndex) avulla saadaan pudotusvalikosta valittu alkio tai sen indeksi muuttujan arvoksi. Jos arvot -pudotusvalikosta on valittuna x2 , niin

f(x):=ValittuAlkio(arvot)
 → f(x)≔ x²

indeksi:=ValittuIndeksi(arvot)
 → indeksi:=3

Samalla piirtoalueelle ilmestyy funktion f(x) = x² kuvaaja.

Kuva4png


 

Lumiukkoprojekti

ezgif-2-6cfc508351

Olen ollut muutaman tunnin peruskoulun 8-luokalla kollegani sijaisena. Hänen pyynnöstään olemme opiskelleet GeoGebra 5:llä “koodaamista”.

Pari tuntia teimme Jono-komennolla kuviota tasoon ja 3D-avaruuteen. Samalla opetin listojen käsittelyä ja näytin myös Zip-komennon toiminnan. Ainakin osa oppilaista sisäisti komentojen toiminnan melko hyvin. Palaan näihin joskus tuonnenpana.

Yksi kaksoistunti käytettiin lumiukon tuottamiseen. Samalla opiskeltiin lumiukon liikuttamista. Esitänpä, miten tuotin oman lumiukkoni.

Loin pisteet A = (0, 0, 2),  B = (0, 0, 5.5) ja C = (0, 0, 8).

Lumipallot saadaan Pallo-komennolla, a = Pallo(A, 2.2), b = Pallo(B, 1.6) ja c = Pallo(C, 1.2).

Koristelin ylimmän pallon pintaa pistetyökalulla, näin sain silmät, nenän ja suun. Yksi silmistä sai nimen D. Käytin sitä hyväksi kun loin kartion pipoksi.

Loin pisteen z- akselille L = (0, 0, z(D)) silmän korkeudelle.

Komento k = Kartio(L, (0, 0, 11), Etäisyys(D, L)) luo kartion, jonka pohjaympyrän keskipiste on L, kärki pisteessä (0, 0, 11) ja pohjaympyrän säde pisteiden D ja L etäisyys.

Lumiukkoprojekti_-_Google_Docs.png

Lumiukon saa liikkeelle vaikkapa seuraavalla tavalla.

Luodaan liuku t kirjoittamalla syöttökenttään t = 5 ja klikkaamalla Algebraikkunassa t:n kohdalla olevaa pallukkaa. Liu’un t asetuksista (hiiren oikealla painikkeella) määritetään liu’un minimiarvoksi 0.01, maksimiarvoksi 1 ja animaatioaskeleeksi 0.01. Lumiukko liikkuu pisteeseen M asti, niinpä luon pisteen M = (5, 5, 0) ja  origon ja M:n väliin liikkuvan pisteen PP. Sen luonnissa käytän Tim Brzezinskin minulle opettamaa venytystä.
PP = Venytys((0, 0, 0), Jos(0 < t < 1, 1 – t, 0), M)

Lumipallon liikkuvat osat luon listaksi nimeltä osat = {a, b, c, D, E, F, G, L, k, …}. Lumipallon osat liikkuvat komennon liike = Siirto(osat, PP)

GeoGebra.png

Jätän lukijalle pohdittavaksi miten sain osat liikkumaan siten, että pystyin muuttamaan osien värejä.

Tiedosto löytyy täältä.

M

Suoran piirtämisen äärellä

Otsikkona voisi olla myös, hidastettua tekemistä tietokoneella. Kävin Kuusamossa kouluttamassa yläkoulun opettajia Geogebran käytössä. Kiitoksia järjestäjille ja osallistujille. Koulutukseen valmistautuessa kokosin ajatuksiani, miten suoran piirtämisen opettaisin yläkoululaisille. Kysymys saattaa tuntua turhalta. Kirjoitat vain syöttökenttään tai CAS-ikkunaan suoran yhtälön y=2x-1 ja painat enteriä. Kone piirtää. Ei tämän asian oppimiseen sen enempää aikaa tarvita. Harjoitellaan vielä vaihtelemalla kulmakerrointa ja vakiotermiä. Kymmenen minuuttia ja sitten voidaankin mennä sovellustehtäviin.

Funktion kuvaajan käsitteen oppiminen on iso, abstrakti askel. Aloitetaan GeoGebralla aivan kuten vihkoonkin tehtäessä. Tehdään taulukko.  Avataan Geogebran taulukkolaskenta ja kirjoitetaan ensimmäiselle riville otsikot. Kun halutaan kirjoittaa tekstiä, se laitetaan lainausmerkkeihin. On makuasia, harjoitellaanko x:n arvoja annettaessa täyttökahvan käyttöä, vain syöttävätkö opiskelijat arvot itse. Ei siinä niin paljoa aikaa kulu.

SuoranPiirto1

Funktion arvoja laskettaessa voitaisiin edetä monella eri tavalla. Alla olevassa taulukossa on esitetty eri tapoja. Vasemmanpuoleisin tapa voi joskus olla perusteltu, mutta jatkon kannalta suosisin oikeanpuolista. Neljäntenä vaihtoehtona on, että oppilaat laskevat funktion arvot vihkoon. Keskimmäisessä vaihtoehdossa funktion määrittäminen tuo suoraan näkyviin myös funktion kuvaajan. Halutaanko se tässä vaiheessa näkyviin?

SuoranPiirto2

Riipumatta tavasta, jolla y:n arvot laskettiin, nyt meillä on taulukko valmiina. Pisteet saadaan näkyviin piirtoikkunalle valitsemalla taulukossa olevat luvut ja valikosta luo pistelista -komento.

SuoranPiirto3

Koska en ollut muistanut laittaa asetuksista automaattista nimeämistä pois, jokaisen pisteen nimi on nyt näkyvissä. Taulukkoon voisi vielä lisätä sarakkeen pisteille. Ehkä tässä kohtaa täyttökahvan käyttö olisi perusteltua. Viimeisenä voisimme sitten piirtää sen suoran, joko algebraikkunassa tai CAS-ikkunassa.

SuoranPiirto4

Tuottaako koneella tekeminen mitään uutta vihkoon piirtämiseen verrattuna? Opitaan vähän koneen käyttöä, mutta tähän asti ei oikeastaan ole ollut kovin suurta eroa. Jos taulukkoon laskit y:n arvot käyttämällä funktiota tai syöttämällä kaavan, voit seuraavaksi piirtoikkunassa ottaa pisteestä kiinni ja piste liikkuu pitkin suoraa. Voimme laittaa pisteen ominaisuuksista jäljen käyttöön, ja saamme funktion kuvaajan esille. Samalla kun liikutamme pistettä, taulukossa sen koordinaatit muuttuvat. Tästä voisi olla apua epäyhtälön käsitteen tarkastelussa, kun mietitään, millä x:n arvolla y koordinaatti on positiivinen tai negatiivinen. Voit vaikkaa muuttaa liikuteteltavan pisteen väriä y:n merkin mukaan.

SuoranPiirto5